Đề tham khảo THPT quốc gia 2015 môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 1. 1 x y x

− = +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm có hoành độ 1. x =

Câu 2.(1,0 điểm)

a) Cho góc α thỏa mãn: π α π 2 < < và 3 sin α . 5 = Tính 2 tan α . 1 tan α A = +

b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 ) (3 ) 2 6 . i z i z i + + − = − Tính môđun của z.

Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: 3 3 log ( 2) 1 log . x x + = −

Câu 4.(1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2 2 2 3( 2 2). x x x x x + + − ≥ − −

Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân:

2 3

1

(2 ln )d . I x x x = + ∫

Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, o 30 , ACB =

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và 2 . SH a = Tính theo

a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc

đường thẳng : 4 3 12 0 x y ∆ + − = và điểm (6; 6) K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O. Gọi C là điểm

nằm trên ∆ sao cho AC AO = và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A. Biết điểm C có

hoành độ bằng 24 , 5 tìm tọa độ của các đỉnh A, B.

Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2; 0; 0) A và (1; 1; 1). B − Viết

phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P).

Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.

Câu 10.(1,0 điểm) Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2

2 2 3 2 2 1 1 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3

+ + = + + + − + + + +

( ) . ( ) ( )

x x P x x x x

----------- HẾT -----------

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1

(2,0 điểm)

a) (1,0 điểm)

● Tập xác định: { } \ 1 . D = −

● Giới hạn và tiệm cận:

( 1) lim x y + →− = −∞, ( 1) lim x y − →− = + ∞; lim lim 2. x x y y →−∞ →+∞ = =

Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng 1 x = − và một tiệm cận ngang là đường thẳng 2. y =

0,25

● Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y' = 2 3 ( 1) x + > 0 ∀x ∈ D.

Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ; 1 −∞− và ( ) 1; − +∞. - Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.

0,25

Lưu ý: Cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số.

- Bảng biến thiên:

x – ∞ – 1 + ∞

y' + +

y + ∞ 2 2 – ∞

0,25

● Đồ thị (C):

0,25

O x

y

−1

−1

2

½

b) (1,0 điểm)

Tung độ 0y của tiếp điểm là: 0

1 (1) . 2 y y = = 0,25

Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là: 3 '(1) . 4 k y = = 0,25

Do đó, phương trình của tiếp tuyến là: 3 1 ( 1) ; 4 2 y x = − + 0,25

hay 3 1 . 4 4 y x = − 0,25

Câu 2

(1,0 điểm)

a) (0,5 điểm)

Ta có: 2 2 tan α 3 tan α.cos α sin α.cosα cosα. 1 tan α 5 A = = = = + (1) 0,25

2 2 2 3 16 cos α 1 sin α 1 . 5 25  = − = − =   (2)

Vì α ; 2 π π   ∈   

nên cosα 0. < Do đó, từ (2) suy ra 4 cosα . 5 = − (3)

Thế (3) vào (1), ta được 12 . 25 A = −

0,25

b) (0,5 điểm)

Đặt z = a + bi, ( ,a b ∈ ); khi đó z a bi = − . Do đó, kí hiệu (∗) là hệ thức cho trong đề bài, ta có: (∗) ⇔ (1 )( ) (3 )( ) 2 6 i a bi i a bi i + + + − − = − ⇔ (4 2 2) (6 2 ) 0 a b b i − − + − =

0,25

⇔ {

4 2 2 0 6 2 0 a b b − − = − = ⇔ {

2 3. a b

= =

Do đó 2 2 | | 2 3 13. z = + = 0,25

Câu 3 (0,5 điểm)

● Điều kiện xác định: 0. x > (1)

● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là phương trình đã cho, ta có: (2) ⇔ 3 3 log ( 2) log 1 x x + + = ⇔ 3 3 log ( ( 2)) log 3 x x + = 0,25

⇔ 2 2 3 0 x x + − = ⇔ 1 …