đáp án đề thi tuyển sinh đại học 2013 khối A môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

a. (1,0 điểm)

Khi m = 0 ta có 3 2 3 1 y x x . = − + − • Tập xác định: . D = \ • Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: hoặc 2 ' 3 6 ; ' 0 y x x y x = − + = ⇔ = 0 2. x =

0,25

Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: ( ; 0) −∞ và (2; ). + ∞

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3. - Giới hạn: lim ; lim . x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞

0,25

- Bảng biến thiên:

Trang 1/4

0,25

• Đồ thị:

0,25

b. (1,0 điểm)

Ta có 2 ' 3 6 3 y x x = − + + . m

Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; ) +∞ khi và chỉ khi ' 0, 0 y x ≤ ∀>

0,25

2 2 , 0. m x x x ⇔ ≤ − ∀>

Xét 2 ( ) 2 f x x x = − với Ta có 0. x > '( ) 2 2; '( ) 0 1. f x x f x x = − = ⇔ =

0,25

Bảng biến thiên:

0,25

1 (2,0 điểm)

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m 1.

x

'y

y

− ∞ + ∞ 0 2

0 0 − − + + ∞

− ∞ −1

3

2 O

y

x

3

−1

x

( ) f x

0 + ∞ 1

0 − 0

+

−1

+ ∞

'( ) f x

≤− 0,25

Trang 2/4

Câu Đáp án Điểm

Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với cos 0. x ≠ sin 1 2(sin co cos x s ) x x x + = + 0,25

(sin cos )(2cos 1) 0. x x x ⇔ + − = 0,25

π sin cos 0 π ( ) 4 x x x k k • + = ⇔ = − + ∈] . 0,25

2 (1,0 điểm)

π 2cos 1 0 2π ( ) 3 x x k k • −= ⇔ = ± + ∈] .

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm: π π 4 x k = − + hoặc π 2π ( ) 3 x k k = ± + ∈] .

0,25

4 4

2 2 1 1 2

2 ( 1) 6 1 0 (2)

x x y y

x x y y y

⎧ + + −− + = ⎪⎨ ⎪ + − + − + = ⎩

(1)

,

Điều kiện: Từ (2) ta được suy ra 1. x ≥ 2 4 ( 1) y x y = + − 0. y ≥

0,25

3 (1,0 điểm)

Đặt 4 1, u x = − suy ra u Phương trình (1) trở thành: 0. ≥ 4 4 2 2 (3). u u y y + + = + +

Xét 4 ( ) 2 , f t t = + + t với Ta có 0. t ≥

3

4 2 '( ) 1 0, 0. 2

t f t t t = + > ∀≥ +

Do đó phương trình (3) tương đương với , y u = nghĩa là 4 1. x y = +

0,25

Thay vào phương trình (2) ta được 7 4 ( 2 4) 0 (4). y y y y + + − =

Hàm có 7 4 ( ) 2 4 g y y y y = + + − 6 3 '( ) 7 8 1 0 g y y y = + + > với mọi 0. y ≥

0,25

Mà nên (4) có hai nghiệm không âm là (1) 0, g = 0 y = và 1. y = Với ta được nghiệm ( ; với 0 y = ) (1; 0); x y = 1 y = ta được nghiệm ( ; ) (2; 1). x y = Vậy nghiệm ( ; ) x y của hệ đã cho là và (1; 0) (2; 1).

0,25

Đặt

2

2 1 d ln , d d d , . x x u x v x u v x 1 x x x

− = = ⇒ = = + 0,25

Ta có

2 2

1 1

1 1 ln d I x x x 1 x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 0,25

2 2

1 1

1 1 ln x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,25

4 (1,0 điểm)

5 3 ln 2 . 2 2 = − 0,25

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC. Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ (ABC). 0,25

Ta có BC = a, suy ra 3 ; 2 a SH = o sin30 ; 2 a AC BC = =

o 3 cos30 . 2 a AB BC = =

Do đó

3

. 1 . . 6 1 S ABC a . 6 H AB AC = = V S

0,25

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB. Mà SH ⊥ (ABC), suy ra SA = SB = a. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI ⊥ AB.

0,25

5 (1,0 điểm)

Do đó

2 2 13 . 4 4 AB a SI SB = − =

Suy ra . . 3 6 39 ( ,( )) . . 1 S ABC S ABC

SAB

V V a d C SAB S SI AB Δ = = = 3

0,25

S

A B

C

I

H