Đề thi chọn HSG Toán 11 cấp tỉnh năm học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm).

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 1 y x bx = + + biết rằng ( ) P đi qua điểm ( ) 2;1 . A

2. Giải bất phương trình 2 2 4 5 1 2 1 3. x x x x x + + + + + ≥ + Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình

3 4sin 2cos (sin 1) 4sin 1 0. 1 cos4 x x x x x − − − + = +

2. Giải hệ phương trình

( )( )

( ) ( ) 2

2 , . ( 1) 4 0

x xy x y xy y y x y y xy x x x

 + + − − = +  ∈   + + − + − = 



Câu III (4,0 điểm).

1. Cho , , x y z là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng

2 2 2 9 . ( ) ( ) ( ) x y y z z x x y y z z x x y z + + + + + ≥ − − − + +

2. Cho dãy số ( ) nu xác định như sau

1 2

2 1

2, 5 . 5 6 , 1 n n n

u u

u u u n + +

= =   = − ∀≥ 

Tính giới hạn lim . 3

n n u      

Câu IV (4,0 điểm).

1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh của lớp 11A, 3 học sinh của lớp 11B và 5 học sinh của lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau.

2. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại .A Các điểm , M N lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho AM AN = ( , M N không trùng với các đỉnh của tam giác).

Đường thẳng 1d đi qua A và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại 6 2 ; 5 3 H   −    

, đường thẳng 2 d

đi qua M và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại 2 2 ; 5 3 K      

. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

, ABC biết rằng đỉnh A thuộc đường thẳng ( ) :5 3 13 0 x y ∆ + + = và có hoành độ dương. Câu V (4,0 điểm).

1. Cho tứ diện SABC có 1 SA SB SC = = = . Một mặt phẳng ( ) α thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt các cạnh , , SA SB SC lần lượt tại các điểm ', ', ' A B C . Chứng minh

rằng biểu thức 1 1 1 ' ' ' T SA SB SC = + + có giá trị không đổi.

2. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một điểm M di động trên cạnh đáy BC ( M khác , B C ). Mặt phẳng ( ) α đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB và . AC Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi ( ) α và tìm vị trí của điểm M để thiết diện đó có diện tích lớn nhất.

------------- HẾT --------------

Số báo danh ......................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN- Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 07 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 1 y x bx = + + biết rằng ( ) P đi

qua điểm ( ) 2;1 . A 2,0

Do ( ) P đi qua điểm ( ) 2;1 A nên 4 2 1 1 2 b b + + = ⇔ = − 0,50

Ta được hàm số 2 2 1 y x x = − + Bảng biến thiên như sau :

x −∞ 1 +∞

2 2 1 y x x = − +

+∞+∞ 0

0,75

Đồ thị: Có đỉnh ( ) 1;0 I và trục đối xứng là đường thẳng 1 x = và có hình dạng như sau:

12

10

8

6

4

2

2

4

15 10 5 5 10 15

0,75

2. Giải bất phương trình 2 2 4 5 1 2 1 3 (1). x x x x x + + + + + ≥ + 2,0

Điều kiện xác định của bất phương trình là

2

2

1 4 5 1 0 1 1 0 4

x x x

x x x

≤−   + + ≥   ⇔  ≥− + + ≥  

0,50

Ta có ( ) 2 (1) ( 1)(4 1) ( 1) 2 1 1 0 x x x x x ⇔ + + − + + + + − ≥ (2) 0,50

Xét 1, x ≤−khi đó:

2 2

2 ( 1) 0, 1 1 0 1

x x x x x x x

+ − + ≥ + + −= ≥ + +

nên (2) luôn đúng.

Vậy 1 x ≤− là nghiệm của BPT đã cho.

0,25

Xét 1 4 x ≥− : BPT (2) ( )

2

2 2( ) 1 4 1 1 0 (3) 1 1

x x x x x x x

+ ⇔ + + − + + ≥ + + +

2 3 1 2 ( 1) 0 0 1 4 1 1 1

x x x x x x x x x

+ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ + + + + + +

0,50

Vậy tập nghiệm của BPT là ( ] [ ) ; 1 0; S = −∞− ∪ +∞ 0,25