Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Bà Rịa - Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2023 – 2024

MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút

Ngày thi : 19/12/2023 (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1 (3,0 điểm).

1. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 sin sin 3sin 2 sin cos cos cos 3 . x x x x x x x + + = + − +

2. Gọi S là tập hợp tất cả ước nguyên dương của số 648000. a = Chọn ngẫu nhiên hai phần tử khác nhau của .S Tính xác suất để hai số được chọn đều không chia hết cho 3. Bài 2 (3,5 điểm). Giải các phương trình sau:

1.

2 3 2 3 3 3 10 11 3 3 . 3 x x x x x + − − + − =

2. [ ] 2 2 2 2 2 4log log ( 2) 2log . log ( 2) . x x x x x x + + = + +

Bài 3 (5,5 điểm).

1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số cot 3 cot x y x m − = + nghịch biến trên khoảng ; . 4 2 π π      

2. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − có đồ thị ( ) C và đường thẳng ( ): 3 . d y x m = − + Tìm tất cả giá trị thực

của tham số m để ( ) d cắt ( ) C tại hai điểm , A B và ( ) d lần lượt cắt trục hoành, trục tung tại

hai điểm , C D mà diện tích tam giác OCD gấp đôi diện tích tam giác OAB (trong đó O là gốc tọa độ). 3. Với hai số thực ,a b thay đổi trên đoạn [ ] 1;3 , tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 2

2 2 2 2 96. . a b ab P b a a ab b = + + + +

Bài 4 (5,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và 2 , . AB a AD a = =

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ) ABCD là trung điểm H của . OA Gọi , M N lần lượt

là trung điểm của , . SB AD Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABCD là 0 45 .

1. Tính thể tích khối chóp . . S ABCD 2. Cho điểm Q trên đoạn thẳng SA mà 2 . QS QA = Tính thể tích khối đa diện . ABCNQM 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , . SN CM Bài 5 (3,0 điểm).

1. Tìm tất cả bộ hai số thực ( ) ,x y thỏa mãn đẳng thức ( ) 2 log 1 4 5 2 57 18 . x y y x x x + + + − + =

2. Cho ba số thực , , x y z không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng

( )

2

2 2 2 1 1 36 63. 2 1 4 x y z x y y z z x x y z   + + + + ≥   + + + + +  

------------HẾT------------ Lưu ý : Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay. Họ và tên thí sinh : ………………………………………………… ; Số báo danh : ……………….. Chữ ký của CBCTh số 01 : …………………………

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2023 – 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN : TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang) Bài 1 (3,0 điểm).

1. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 sin sin 3sin 2 sin cos cos cos 3 . x x x x x x x + + = + − +

2. Gọi S là tập hợp tất cả ước nguyên dương của số 648000. a = Chọn ngẫu nhiên hai phần tử khác nhau của .S Tính xác suất để hai số được chọn đều không chia hết cho 3. Câu Nội dung Điểm 1. (1,5đ)

( ) ( ) 2 2

2 2

sin 3sin 2 sin cos 3

sin sin 6sin cos 1 2sin cos cos 3cos

x x x x x x x

x x x x x x x x

+ + = + − +

⇔ + + = + − −

0,25

3cos sin 4sin cos x x x x ⇔ + = − 0,25

3 1 cos sin sin 2 2 2 x x x ⇔ + = −

0,25

( ) sin sin 2 3 x x π   ⇔ + = −    

0,25

2 2 3

2 2 3

x x k

x x k

π π

π π π

+ = − +  ⇔ + = + + 

0,25

2 9 3 , . 2 2 3

k x k x k

π π

π π

= − +  ⇔ ∈  = − − 



0,25

2. (1,5đ)

Ta có 3 6 4 648000 5 .2 .3 a = = 0,25

Mỗi ước nguyên dương của a đều có dạng 5 .2 .3 i j k với { } { } { } 0,1,2,3 ; 0,1,2,3,4,5,6 ; 0,1,2,3,4 i j k ∈ ∈ ∈ .

0,25

Số ước nguyên dương của a bằng số bộ ( ) , , i j k với , , i j k thuộc các tập trên. Do đó số phần tử của S là: 4.5.7 140 = số.

0,25

Khi đó: ( ) 2 140 n C Ω= . 0,25

Gọi A là biến cố “lấy được hai số từ S mà chúng đều không chia hết cho 3”. Ước của a mà không chia hết cho 3 có dạng 0 5 .2 .3 i j . Số ước của a không chia hết cho 3 là: 4.7 28 = số.

0,25

Khi đó: ( ) 2 28. n A C =

Vậy ( ) ( ) ( )

2 28 2 140

27 . 695 n A C P A n C = = = Ω

0,25