Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Quảng Ngãi

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QU ẢNG NGÃUI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Ngày thi: 06/12/2019 Môn: TOÁN UThời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 02 trang)

Câu 1: (5,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình sau (với ,x y ∈)

2 2 2

2 2 2 2 4 2 2

6 2 6

y x y x y x

y yx y x

+ + + + = +  + = + 

.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân

biệt nhỏ hơn 2

( )

2 2 2 2 2 9.3 2 11 .3 4 2 0 x x x x m m − − + − + + − + = .

Câu 2: (5,0 điểm).

a) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  và hàm '( ) f x có đồ thị như hình bên. Tìm các điểm cực trị của hàm số

( ) 2 1 ( ) 2 1 2019 2 g x f x x x = − + − + .

b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% / tháng. Tính tổng số tiền anh Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng.

Câu 3: (5,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt

phẳng ( ) ABC , tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC) bằng . α

a) Tính theo a và α thể tích khối chóp . G ANC với G là trọng tâm tam giác SBC ,

N là trung điểm BC .

b) Gọi M là trung điểm AC . Tìm giá trị của α để khoảng cách giữa hai đường

thẳng , MN SC đạt giá trị lớn nhất.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

Câu 4: (3,0 điểm).

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 15.

Câu 5: (2,0 điểm).

Cho hàm số ( ) 2019 2019 x x f x − = − . Các số thực ,a b thỏa mãn 0 a b + > và

( ) ( ) 2 2 2 9 9 0 f a b ab f a b + + + + − − = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 3 1 10 a b P a b + + = + + khi

,a b thay đổi.

………………………..HẾT………………………..

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu Nội dung Điểm 1 a) Giải hệ phương trình sau (với ,x y ∈)

2 2 2

2 2 2 2 4 2 2

6 2 6 .

y x y x y x

y yx y x

+ + + + = +  + = + 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

( )

2 2 2 2 2 9.3 2 11 .3 4 2 0 x x x x m m − − + − + + − + =

5,0 đ

1.a Điều kiện 2 y ≥−. Ta có

( )( )

2 2 2

2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 0

y x y x y x

y x y x

+ + + + = +

⇔ + − + + + + =

1,0

Do đó

2 y x = , thay vào phương trình sau ta được

4 3 8 6 0 x x x + − =

Suy ra 3

0 1 4 3 2

x

x x

=    − = 

0,75

Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số). 0,5

Với 1 1 x −≤ ≤ ta đặt x = cost (với [ ] 0; t π ∈ ), phương trình trở thành 1 cos3 2 t = suy

ra 5 7 , , 9 9 9 t t t π π π = = =

Như vậy hệ có nghiệm

( )

2 2 2 5 5 7 7 0;0 , cos ;cos , cos ;cos , cos ;cos 9 9 9 9 9 9 π π π π π π            

0,75

Trang 3

2.b Viết lại phương trình

2

2 2 2

2 2 2 11 3 4 2 0 3

x x

x x m m − +

− + + + − + = (1)

Đặt

2 2 2 3x x t − + = . Xét ( )

2 2 2 ' 2 2 .3 .ln3 x x t x x − + = −

0,5

Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị ( ) 0 3;9 t ∈ thì phương trình

2 2 2 0 3x x t − + = có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. + Phương trình (1) trở thành ( ) 2 2 1 2 2 11 0 t m t m + − + + =

2 2 11 2 2 1 t t m t + + ⇔ = − (2).

0,5

+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt nhỏ hơn 2 khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , t t thuộc khoảng ( ) 3;9 .

+ ( )

2 2 11 2 1 t t f t t + + = − , ( ) 3;9 t ∈ . ( ) ( )

2

2 3 2 2 24 ' 0 4 2 1

t t t f t t t

= −  − − = = ⇒= − 

0,5

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , t t thuộc khoảng ( ) 3;9 khi

26 5 13 5 2 5 2 5 m m < < ⇔ < < .

0,5

2 a) Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  và hàm '( ) f x có đồ thị như hình bên. Tìm các điểm cực trị của hàm số

( ) 2 1 ( ) 2 1 2019 2 g x f x x x = − + − + .

b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể thức lãi kép,kì hạn

5,0 điểm