Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 - 2020 trường Đồng Đậu - Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

UCâu 1U (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 2019 3 y mx m x m x = − − + − +

đồng biến trên [ ) 2;+∞.

b) Cho hàm số 2 1 mx m y x − + = + có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường

thẳng : 2 1 d y x = − cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA,

OB bằng 45°.

UCâu 2U (2,0 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác sau ( ) ( )( )

cos 2sin 1 3 sin 1 2sin 1

x x

x x

+ = + − .

b) Giải hệ phương trình sau ( )

2 2

2 3

4 3 3 3 0 , 3 5 3 2 2

x y x y y x y x x y x

 − + + + =  ∈  + − + + − =  .

UCâu 3U (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có AB a = , 2a AC = , 3 6 2 a AA′ =

và góc  60 BAC = °. Gọi M là điểm trên cạnh CC′ sao cho 2 CM MC′ =  

. a) Chứng minh rằng AM B M ′ ⊥ . b) Tính khoảng cách từ đỉnh A′ đến mặt phẳng ( ) AB M ′ .

UCâu 4U (1,0 điểm) Cho dãy số ( ) nu có số hạng tổng quát

( ) ( ) * 2 1 1 , 1 n u n n = − ∈ +  .

Tính ( ) 1 2 3 lim n u u u u  .

UCâu 5U (1,0 điểm) Cho đa giác lồi ( ) H có n đỉnh ( , 4 n n ∈ >  ). Biết số các tam giác có ba

đỉnh là đỉnh của ( ) H và không có cạnh nào là cạnh của ( ) H gấp 5 lần số các tam giác có ba

đỉnh là đỉnh của ( ) H và có đúng một cạnh là cạnh của ( ) H . Xác định n.

UCâu 6U (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là 1 0 x y − + = , điểm ( ) 1;4 G là trọng tâm tam giác ABC, điểm

( ) 0; 3 E − thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình

hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương.

UCâu 7U (1,0 điểm) Cho , , 0 a b c > và 3 a b c + + = . Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 1 1 1 1 a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + +

--------------- HẾT ---------------

TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

I. UNhững lưu ý chungU: - Điểm toàn bài thi không làm tròn. - Câu 3 học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa. II. UĐáp án và thang điểmU: Câu Đáp án Điểm 1 a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 2019 3 y mx m x m x = − − + − + đồng biến trên [ ) 2;+∞.

1

Ycbt ( ) ( ) [ ) 2 2 1 3 2 0, 2; y mx m x m x ′ ⇔ = − − + − ≥ ∀∈ +∞ 0,25

( ) [ ) [ ) ( ) 2 2; 2 6 , 2; max 2 3 x m f x x m f x x x +∞ − + ⇔ ≥ = ∀∈ +∞⇔ ≥ − + 0,25

Ta có: ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

2 2 2 6 3 3 6 ; 0 3 6 2 3

x x x tm f x f x x ktm x x

 − + = + ′ ′  = = ⇔ = − − + 

0,25

0,25

b) Cho hàm số 2 1 mx m y x − + = + có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số

m để đường thẳng : 2 1 d y x = − cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45°.

1

Phương trình hoành độ:

( )( ) ( )

1 2 2 1 1 2 3 0, 1 3 1 2

x mx m x x x m x m x x

=  − +  = −⇔ − + − = ≠− ⇔ −  + = 

0,25

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 1 5 m m ≠∧ ≠ .

Khi đó, ( ) 3 1;1 , ; 4 2 m A B m −   −    

.

0,25

Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc 45° là:

( )

2 2 3 2 3 . . .cos45 4 2. . 4 2 2 2 m m OAOB OAOB m m − −   = ° ⇔ + − = + −    



0,25

( ) 2 3 7 12 0 4

m m m tm m

=  ⇔ − + = ⇔ = 

0,25

2

a) Giải phương trình lượng giác sau ( ) ( )( )

cos 2sin 1 3 sin 1 2sin 1

x x

x x

+ = + − .

1