Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 - 2019 sở GDĐT Đồng Nai

Bài 1. (5 điểm)

1) Chứng minh rằng phương trình 2 3 6 3 x x x    có đúng ba nghiệm thực phân biệt

1 2 3 , , x x x . Tính giá trị của biểu thức

    3 2 3 2 3 2 1 1 2 2 3 3 9 9 9 T x x x x x x        .

2) Cho hai hàm số 3 2 3 2 3 1, 2 2 2 y x x x y x x mx         có đồ thị lần lượt là   1 , C

  2 C với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để   1 C và   2 C cắt tại ba điểm

phân biệt có tung độ là 1 2 3 , , y y y thỏa mãn

1 2 3

1 1 1 2 4 4 4 3 y y y       .

Bài 2. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c abc    . Chứng minh rằng

2 2 2 a b c abc   

Bài 3. (4 điểm) Cho dãy số   nx xác định bởi 1 2 1 x x   và  

1 2 2 1 . 3. 1

n n n n x x x

      .

1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy   nx đều là số nguyên.

2) Tính 1

1 2 lim ...

n

n

x x x x

    .

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K là trung

điểm BC và G là hình chiếu vuông góc của H trên AK. Lấy D đối xứng G qua BC và

I đối xứng C qua D. Tia phân giác  ACB cắt AB tại F và tia phân giác  BID cắt BD ở M, MF cắt AC tại E.

1) Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn (O).

2) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM ở điểm thứ hai là Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O).

Bài 5. (4 điểm) Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3 3 4 12 m m n n    . Chứng minh rằng m n  là lập phương của một số nguyên.

-------HẾT-------

Họ & tên thí sinh: …………………………………….. Số báo danh: ……………...

Chú ý. Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay!

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỒNG NAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có một trang, có năm bài)