Bài tập Quy tắc đếm và Nhị thức Newton - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Đại số tổ hợp

Trang 1

Bài 1: Qui tắc đếm I. Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọn đối tượng a2, …, mn cách chọn đối tượng an, mà ở đó cách chọn đối tượng ai không trùng với bất kì cách chọn đối tượng aj nào (i ≠ j, i, j =1, 2, …, n) thì sẽ có m1 + m2 + … + mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho. II. Qui tắc nhân: Cho n đối tượng a1, a2, …, an. Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, và với mỗi cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2, và sau đó mỗi cách chọn a1, a2 có m3 cách chọn đối tượng a3, …, cuối cùng với mỗi cách chọn a1, a2, …, an–1 có mn cách chọn đối tượng an. Thế thì sẽ có m1.m2…mn cách chọn dãy các đối tượng a1, a2, …, an. Ví dụ 1: Anh Tuấn có 6 quyển sách khác nhau và 4 quyển vở khác nhau. Hỏi anh Tuấn có bao nhiêu cách chọn 1 trong các quyển đó? ĐS: Có 6 + 4 = 10 cách chọn Ví dụ 2: Cô Thuý có 3 bộ áo dài và 4 bộ áo đầm. Hỏi cô Thuý có bao nhiêu cách chọn 1 bộ trang phục để đi dự sinh nhật? ĐS: Có 4 + 3 = 7 cách chọn Ví dụ 3: Từ tỉnh A đến tỉnh B có 3 con đường đi, từ tỉnh B đến tỉnh C có 2 con đường đi. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ tỉnh A đến tỉnh C? ĐS: Có 3.2 = 6 cách chọn. Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: – Số gồm 1 chữ số: có 3 cách chọn – Số gồm 2 chữ số: có 6 cách chọn – Số gồm 3 chữ số: có 6 cách chọn ⇒ Có 3 + 6 + 6 = 15 (số) Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 5 chữ số. b) Có 5 chữ số khác nhau? ĐS: a) 55 b) 5!

Bài tập Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường. Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18 b) 15 Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu

Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng

Trang 2

cách chọn tiết mục biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS: 36. Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35 b) 29 Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. Baøi 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau. Baøi 9: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam. ĐS: 161. Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x A y A , ∈ ∈ b) x y A { , } ⊂ c) x A y A vaø x y , 6 ∈ ∈ + = . ĐS: a) 25 b) 20 c) 5 cặp Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: x A y A x y , , ∈ ∈ > …