Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Yên Lạc - Vĩnh Phúc

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 -2017

MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm): a, Cho hàm số , biết . Chứng minh rằng .

b, Tìm các số x,y,z biết rằng và

Câu 2 (2,0 điểm):

a, Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức có giá trị lớn nhất?

b, So sánh biểu thức P với , biết

( với n!=1.2.3…n)

Câu 3 (2,0 điểm):

a, Chứng minh rằng số là số vô tỉ.

b, Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn .

Câu 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ tia Cx sao cho . Gọi D là giao điểm của các tia Cx và BA. Chứng minh rằng AD = BC. Câu 5 (1,5 điểm): a, Cho p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 và thoả mãn p = q + 2. Tìm số dư khi chia p + q cho 12. b, Cho A là một tập hợp gồm 10 chữ số, . B là một tập con của A gồm 5 phần tử. Chứng minh rằng trong tập hợp các số có dạng x + y, với x, y là hai phần tử phân biệt thuộc B, có ít nhất 2 số có cùng chữ số hàng đơn vị. c, Với mỗi số nguyên dương a, kí hiệu S(a) là số chữ số của a. Tìm số nguyên dương n để là số chẵn.

---------------Hết--------------- ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:................................................................... Số báo danh:..................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 -2017

MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu Nội dung Điểm 1 a, Ta có f(1)=a+b+c, f(-1)= a-b+c. suy ra f(1)+f(-1)=2(a+c)=0 0,5 2đ Do đó f(1) và f(-1) là hai số đối nhau, suy ra . 0,5 b, Từ giả thiết và theo t/c của dãy tỷ số bằng nhau, ta có : 0,5

Do đó x=-45, y=-60, z=-84 0,5 2 a, Biến đổi , A lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 0,25

2đ - Nếu x>4 thì (1)

- Nếu x<4 thì . Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất.

0,25

Mẫu số 4-x là số nguyên dương, nhỏ nhất khi 4-x=1 suy ra x=3.

Khi đó (2)

0,25

Từ (1) và (2) ta thấy lớn nhất bằng 10. Vậy GTLN của A =11 khi

x=3

0,25

b, Ta có . 0,5

Áp dụng với n=1,2,..,2015, ta được 0,5

3 a, Giả sử là số hữu tỉ, đặt với

0,25

2đ Ta có . Suy ra

m=2017k ( k là số tự nhiên)

0,25

Suy ra .

Do đó (m,n)=10 ( trái với giả thiết) 0,25 Vậy là số hữu tỉ 0,25

b, Nếu 0,25

Vậy trong 3 số x,y,z phải có ít nhất một số nhỏ hơn 3. 0,25

Gọi

Nếu x=1 suy ra y=z=2 Nếu x=2 suy ra y=2, z=2 ( Loại)

0,25

Vậy (x,y,z)=(1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) 0,25 4 2,5 đ

b

a

2a

x

E

A

D

C M N B

- Kẻ CE vuông góc với CD, đặt CE=a thì ED=2a -Trên BC lấy M,N sao cho

0,5 0,5 -Ta có 0,5 - 0,5

- Tam giác MAN đều. Đặt AM=MN=b thì AE=b. Do đó AD=b+2a, BC=b+2a Vậy BC=AD.

0,5

5 a, Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 với k là STN. Nếu q=3k+1 thì p=3k+3 (loại)

0,25

1,5 đ

Nếu q=3k+2 thì p=3k+4, vì q là SNT>3 nên k lẻ . ta có p+q=6(k+1), chia hết cho 12 vì k+1 chẵn. Vậy số dư khi chia p+q cho 12 bằng 0.

0,25

b, Giả sử trong các số có dạng x+y, với x,y là hai phần tử phân biệt thuộc B, không tồn tại 2 số có cùng chữ số hang đơn vị. Khi đó các tổng này đều khác nhau. Giả sử . Gọi C là tập hợp các số có dạng x+y, với x,y là hai phần tử phân biệt thuộc B.

0,25

Ta có . Ta thấy C có 10 phần tử và tổng các phần tử là , là một số chẵn. Mặt khác, 10 số trong C đều có chữ số hang đơn vị khác nhau nên các chữ số hàng đơn vị này là 10 chữ số khác nhau 0,1,2,…,9. Mà 1+2+…+9=45 là số lẻ (vô lý) suy ra điều phải chứng minh.

0,25

c, Giả sử có a chữ số, có b chữ số. Vì đều không thể tận cùng bằng chữ số 0, nên và

0,25

Suy ra , do đó a+b-2<n<a+b. Vậy n=a+b-1, mặt khác a-b và a+b là hai số cùng tính chẵn lẻ, nên a-b chẵn khi a+b chẵn. Khi đó n là số lẻ.

0,25