Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2018 - 2019 phòng GDĐT Yên Lạc - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HGS LỚP 8 CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018 -2019 ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức

2

3 2 2 3 2 2 2 1 4 : 2 4 8 4 2 2 4 8 x x x P x x x x x x x x   +   = + −    + + + + − − + −    

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P có giá trị là số nguyên tố. c) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào? Bài 2. (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn :

2 2 2 2 8 2 x y x y xy − − = b) Gọi a là nghiệm nguyên âm của phương trình: ( )( ) 2 2 6 5 8 12 252 x x x x − + − + = .

Tính giá trị của biểu thức ( ) 2019 2018

2019 2018 1 2018 P x x = + + + tại x = a

Bài 3. (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi x > 0, y >0, ta luôn có 1 1 1 1 4 x y x y    +   +  

.

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

1 1 1 3 2 2 2 4 ab a bc b ca c + +  + + + + + +

Bài 4. (2,5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BD và CD lần lượt tại E và K. Trên cạnh BD lấy điểm H sao cho AE là tia phân giác của góc CAH. Gọi F là giao điểm của HK và AB.

a) Chứng minh rằng hai tam giác AHD và BHA đồng dạng. b) Giả sử AB = 12cm, AD = 9cm. Tính độ dài đoạn BF. c) Chứng minh rằng ba điểm C, E, F thẳng hằng Bài 5. (1,5 điểm)

a) Cho ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) c x a x b a x b x c b x c x a f x c a c b a b a c b c c a − − − − − − = + + − − − − − − , với a, b, c là các số

thỏa mãn a < b < c. Tính (2019) f b) Ban đầu trên bảng có hai số 1 và 4. Một học sinh thực hiện thay đổi như sau:

Mỗi lần chọn hai số a và b trên bảng thì viết thêm số c = ab + a + b lên trên bảng. Hỏi số nhỏ nhất không nhỏ hơn 2019 mà có thể xuất hiện được trên bảng là số nào?

------------------------ Hết ------------------------

(Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ tên thí sinh: ………………………… Số báo danh

ĐỀ THI CHÍNH THỨC