Đề giữa học kì 2 Toán 9 năm 2022 - 2023 trường THCS Chu Văn An - Hà Nội

1

UBND QUẬN TÂY HỒ TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II

MÔN : TOÁN – LỚP 9

Năm học 2022 – 2023 Thời gian làm bài : 90 phút Bài 1 (2,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau

4 6 a) 4 3 5

+ =   − = 

x y

x y b)

3 1 1 x y 1 2 3 8 x y 1

 − =  +   + =  + 

Bài 2 (2,0 điểm) Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Trên quãng đường Hà Nội – Quảng Ninh dài 198 km, có hai ô tô đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất xuất phát từ Hà Nội đi Quảng Ninh, xe thứ hai xuất phát từ Quảng Ninh về Hà Nội. Hai xe khởi hành cùng một lúc và sau 1giờ 30 phút thì gặp nhau. Biết xe khởi hành từ Hà Nội, trung bình mỗi giờ đi nhanh hơn xe kia 10 km. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe. Bài 3 (2,0 điểm) Cho parabol (P): 2 y = x và đường thẳng (d): 2 y = 3x + m − a) Khi m 2 = , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 4 (3,5 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn, B và C là các tiếp điểm. AO cắt BC tại H.

a) Chứng minh tứ giác BOCA là tứ giác nội tiếp. b) Kẻ cát tuyến AMN với (O) sao cho tia AM nằm giữa hai tia AB và AO; M thuộc

đoạn AN. Chứng minh: 2 AB AM. AN = c) Chứng minh AMH AON ∆ ∆  Bài 5 (0,5 điểm) Cho x > 0; y > 0; x + y 2 ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 S = x + 3y + 1 + − x y

....................Hết ....................

Giáo viên coi kiểm tra không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh: …………………………………………… Lớp: ……………

(Đề thi có 01 trang)

2

UBND QUẬN TÂY HỒ

TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN – LỚP 9 GIỮA HK II

Năm học 2022 – 2023

BÀI CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 2,0

a 1,0

Giải các hệ phương trình sau:

4 6 4 16 24 19 19 2 a) 4 3 5 4 3 5 4 6 1

+ = + = = =     ⇔ ⇔ ⇔     − = − = + = =    

x y x y y x

x y x y x y y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2;1)

0,75

0,25

b 1,0

b)

3 1 1 x y 1 2 3 8 x y 1

 − =  +   + =  + 

ĐK: 0; 1 ≠ ≠− x y Đặt 1 1 ; ;( 0; 0) 1 = = ≠ ≠ + a b a b x y

0,25

ta có hệ pt

3a b 1 a 1 ... 2a 3b 8 b 2 − = =   ⇔ ⇔   + = =  

(tmđk)

0,5

Từ đó tìm được 1 x = 1; y = 2 −(tmđk).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = 1 (1; ) 2 −

0,25

2 2,0

Gọi vận tốc trung bình của xe đi từ Hà Nội là x (km/h) Vận tốc trung bình của xe đi từ Quảng Ninh là y (km/h) (x; y > 0; x > y; x > 10)

0,5

Lập luận có phương trình 10 − = x y và 3 3 198 2 2 + = x y 0,75

Giải hệ phương trình

10 3 3 198 2 2

− =  + = 

x y

x y được kết quả 71 61 =   = 

x y (tmđk)

0,5

Đối chiếu đk, kết luận đúng 0,25

a 1,0

Cho parabol (P): 2 y = x và đường thẳng (d): 2 y = 3x + m − Khi m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 2 x 3 m = − + x Thay m = 2 vào pt, được 2 x 3 4 0 + − = x

0,25

3

3 2,0

Giải được 1 2 1; 4 = = − x x 0,25

Tìm được 1 2 y 1; 16 = = y 0,25

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là ( ) ( ) 1;1 ; 4;16 − 0,25

b 1,0

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 2 x 3 m = − + x 2 2 x 3 m 0 ⇔ + − = x (1)

phương trình (1) có 2 1 0 9 4 0 m

= ≠  ⇔∆= + > ∀ 

a

m

0,5

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 0,25

Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m (Đpcm)

0,25

4 3,5

H

N M

O

C

B

A

Vẽ hình đúng đến câu a

0,25

a 1,25

Chứng minh tứ giác ABOC có tổng 2 góc đối bằng 1800 Suy ra ABOC là tứ giác nội tiếp. 1,25

b 1,25

Chứng minh   ABM ANB = 0,5 Chứng minh AMB ABN(g.g) ∆ ∆  0,5

Suy ra 2 AB AM.AN = (đpcm) 0,25

c 0,75

Chứng minh BH AO ⊥ Chứng minh 2 AB AH.AO =

0,25

Suy ra AM.AN AH.AO = 2 ( AB ) = 0,25

Chứng minh AMH AON(c.g.c) ∆ ∆  0,25