Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 4 năm 2023 - 2024 trường Hồng Phương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG

ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024

LẦN 4 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức: ( )( )( ) A x y y z z x xyz = + + + + . a) Phân tích A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x y z + + chia hết cho 6 thì 2025 A xyz − chia hết cho 6.

Câu 2. (2,0 điểm) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

2 2 2 2) ( c b a c b a + + = + + . Tính giá trị của biểu thức: P= ab c c ac b b bc a a 2 2 2 2

2

2

2

2

2

+ + + + + .

Câu 3. (2,0 điểm) Cho phương trình 1 21 1 3 7 a a x − = − + (ẩn x , a là tham số). Hãy tìm tất

cả các giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm. Câu 4. (2 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x 2 + dư 10, f(x) chia

cho x 2 −dư 22, f(x) chia cho 2 x 4 −được thương là 5x − và còn dư.

Câu 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 18 n + và 41 n − là hai số chính phương. Câu 6. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) HM AH HD CD =

b) DMN ∆ là tam giác cân. Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, ba đường cao AD, BE, CF. Chứng

minh rằng

CF BC AD = + 2 2 2 1 1 1 4

Câu 8. (2,0 điểm) Một cửa hàng ban đầu niêm yết giá cho một chiếc điện thoại là 12 000 000 đồng. Sau đó cửa hàng đã giảm giá chiếc điện thoại này hai đợt, mỗi đợt đều giảm giá là m% so với giá trước đó. Sau hai đợt giảm giá, cửa hàng đã bán chiếc điện thoại này với giá 7 680 000 đồng. Hỏi mỗi đợt cửa hàng đã giảm giá bao nhiêu phần trăm?

Câu 9. (1,5 điểm) Cho a b c , , là các số thực dương thỏa ab bc ca + + = 3.

Chứng minh rằng

a b b c c a + + ≤ + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

==== HẾT ==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh.......................................................SBD:.......................Phòng thi.............

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG

ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024

LẦN 4 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

1

a) Ta có: ( )( )( ) A x y y z z x xyz = + + + + = (x + y + z)(xy + yz + zx) b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z  6 nên A  6 Mặt khác: x + y + z  6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra: xyz  2, mà 20253 => 2025xyz  6 Suy ra: A - 2025xyz chia hết cho 6

1,5

0.25 0.25 0.25 0.25

2

(a+b+c)2= 0 2 2 2 = + + ⇔ + + bc ac ab c b a

) )( ( 2

2

2

2

2

2

c a b a a bc ac ab a a bc a a − − = + − − = +

Tương tự:

2 2

2 2 ( )( ) b b b ac b a b c = + − − ;

) ) ( 2

2

2

2

b c a c c ac c c − − = +

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( )

a b c P a bc b ac c ab a b c a b a c a b b c a c b c a b a c b c a b a c b c

= + + + + +

= − + − − − − − − − − − = = − − −

0.25

0.5

0.25

0.25

0.25

0.5

3

ĐKXĐ: x 7 ≠− Biến đổi pt về dạng: (1 3a)x 6 − = − (2)

- Nếu 1 a 3 = thì pt (2) có dạng 0x 6 = − (vô lí)

⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt đã cho VN

- Nếu 1 a 3 ≠ thì từ (2) ⇒ 6 x 3a 1 = −

Để x là nghiệm của phương trình đã cho thì 6 1 7 a 3a 1 21 ≠−⇔ ≠ −

Để pt có nghiệm âm thì 6 x 0 0 3a 1 < ⇒ < −

mà 1 6 0 3a 1 0 a 3 > ⇒ −< ⇔ <

Vậy với 1 1 a ,a 3 21 < ≠ thì pt đã cho có nghiệm âm

0.25 0.25

0.25

0.25

0.25

0.25 0.25

0.25

4

Giả sử f(x) chia cho 2 x 4 − được thương là 5x − và còn dư là ax b + . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 f x x 4 . 5x ax b = − − + +

Theo đề bài, ta có:

0.25 0.25