Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Nam Đàn - Nghệ An

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM ĐÀN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (5,0 điểm):

1. Tính A =ඥ7 + 4√3 −ඥ4 −2√3

2. Cho biểu thức A = 2+5√??

4−??+ 2√??

√??+2 −√??+1

2−√?? (Với ??≥0; ??≠4)

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên. Câu 2: (4,0 điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2??2 −??2 + ????−8??−5??+ 3 = 0

b) Cho 2 số tự nhiên y >?? thỏa mãn (2??−1)2 = (2??−??)(6??+ ??) Chứng minh 2y – x là số chính phương. c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn ??+ ??+ ??= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: M = ??2+??+1

1+??2 − ??2−??+1

1+??2 + ??2+??+1

1+??2

Câu 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) √1 −4??+ 4??2 = 5 −??

b) 9

??2 + 2??

√2??2+9 = 1

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC b) Biết AH = h;  = ∝. Tính độ dài MN theo h và ∝. c) Trong trường hợp  = 900, chứng minh ????.????

????.????=

????

????

Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2023 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2023.

.......................................Hết ..................................

Họ và tên: ............................................................. Số báo danh: ..............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Nội dung Biểu điểm Câu 1(5,0điểm):

1. Tính A =ඥ??+ ??√??−ඥ??−??√??

2. Cho biểu thức ??= 2+5√??

4−??+ 2√??

√??+2 −√??+1

2−√?? Với ??≥??; ??≠??

a) Rút gọn biểu thức A. b)Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên.

1 5,0đ

1 2,0đ

A =ඥ7 + 4√3 −ඥ4 −2√3 = 2 +√3 - √3 +1 = 3

2,0 2a 2,0đ

??= 2+5√??

4−??+ 2√??

√??+2 −√??+1

2−√?? = 3√??

√??+2

2,0

2b 1,0đ

Với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ, ta có:

A = 3√??

√??+2 => A√?? +2A = 3√?? => (2 – A)√?? =A +1

=> √?? = 2??

3−??

 0 ≤ ??< 3

Vì A nguyên nên A = 0; 1.;2 Thay vào tìm được x = 0; 1; 16.(TM)

0,5

0,5

Câu 2 (4,0 điểm ) a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình : ??????−????+ ????−????−????+ ??= ??

b) Cho 2 số tự nhiên y > ?? thỏa mãn (????−??)??= (????−??)(????+ ??) Chứng minh 2y – x là số chính phương. c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn ??+ ??+ ??= ?? . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: M = ??2+??+1

1+??2 − ??2−??+1

1+??2 + ??2+??+1

1+??2

2 5,0đ

a 1,5đ

2??2 −??2 + ????−8??−5??+ 3 = 0 Phân tích được (x + y – 1) (2x – y – 6) = 3 Giải ra được: (x;y) ∈ {(1; −1); (1; −3)}

1,0 0,5

b 1,5đ

(2??−1)2 = (2??−??)(6??+ ??) Vì 2y – 1 là số chính phương lẻ => x là số lẻ. Gọi d = (2y – x)( 6y + x) với d ∈ N; d lẻ.

 ൜2??−??⋮?? 6??+ ??⋮?? => ൜ 2??−??+ 6??+ ??⋮?? 3(2??−??) −(6??+ ??) ⋮?? => ቄ8??⋮?? −4??⋮??

 ቄ??⋮?? ??⋮??

Mặt khác từ giả thiết => (2??−1)2 ⋮??2 => 2y -1 ⋮??

1,0

Mà y ⋮?? => 1⋮?? => d = 1. Do đó 2y –x là số chính phương. 0,5

c 1,0

M = ??2+??+1

1+??2 − ??2−??+1

1+??2 + ??2+??+1

1+??2 = ??

1+??2 + ??

1+??2 + ??

1+??2 + 1

Ta có: ??

1+??2 + ????2

1+??2 = x => ??

1+??2 = x - ????2

1+??2

Tương tự: ??

1+??2 = y - ????2

1+??2; ??

1+??2 = z - ????2

1+??2

M = (x + y + z) –(

????2

1+??2 +

????2

1+??2 +

????2

1+??2) + 1

= 4 - (

????2

1+??2 +

????2

1+??2 +

????2

1+??2)

Mà

????2

1+??2 ≤ ????2

2?? = ????

2 . Tương tự

????2

1+??2 ≤ ????

2 ;

????2

1+??2 ≤ ????

2

 M ≥ 4 – ( ????

2 + ????

2 + ????

2 )

Mặt khác ta lại có (??+ ??+ ??)2 ≥3(????+ ????+ ????)  (xy +yz + zx) ≤3  M ≥4 − 3

2 = 5

2. Dấu “=” xảy ra  x = y = z =1.

1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) √??−????+ ??????= ??−??

b) ??

????+ ????

ඥ??????+??= ??

3 4,0 đ

a 2,0đ

√1 −4??+ 4??2 = 5 −?? (ĐKXĐ: R)

 |1-2x| = 5-x (1)

TH1: x ≤ 1

2 => x = - 4

TH2: 1

2 ≤??≤5 => x = 2.

Vậy x = -4; 2

1,0 1,0

b 2,0đ

9

??2 +

2??

√2??2+9 = 1 (1) (ĐKXĐ: x ≠0)

(1)  9.√2??2 + 9+ 2??3= ??2. √2??2 + 9

Đặt √2??2 + 9 = a  9a + 2??3 = ??2.a  9a + x(??2 – 9) = a??2  (a – x)(9 + ax) = 0 => a = x hoặc ax = -9.

TH1: a = x => √2??2 + 9 = …