Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2022 - 2023 sở GDĐT Gia Lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 14/02/2023

Họ và tên thí sinh:…………………………..…………………Số báo danh: ……………

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) k k k k + + = + + + ( Với 0 k > ).

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 S = + + + + + + + + + + .

b) Tìm tất cả các cặp số ( ; ) x y nguyên thỏa mãn: 2 5 0 x xy x y − + + + = . Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho hàm số 2 ( 2) 2 8 y m m x m = − + + − có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác

OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ).

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy

vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8 9 bồn.

Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ? Câu 3 (2,0 điểm).

Cho 3 3 1 3 9 x = + + . Chứng tỏ 3 2 3 6 21 x x x − − + là số chia hết cho 5 . Câu 4 (5,0 điểm).

Cho đường tròn( ) O đường kính 2 BC R = và điểm A thay đổi trên( ) O (điểm A không trùng với , B C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn( ) O tại K . HạAH vuông góc với BC .

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 2 2 AH KH + luôn không đổi. Tính góc B của tam giác

ABC biết 3 2 AH R = .

b) Đặt AH x = . Tìm x sao cho diện tích tam giácOAH đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm).

Cho ABC ∆ vuông tại A biết 3, 4 AB AC = = và AH là đường cao. Gọi I AB ∈ sao cho 2 AI BI = , CI cắt AH tại E . Tính CE. Câu 6 (2,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) a bc b c b ca c a c ab a b a b c b c a c a b + + + + + + + + ≥ + + + .

--------------------------HẾT-------------------------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 14/02/2023

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Câu Ý Đáp án Điểm

1 (5,0đ)

a) 3đ

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) k k k k + + = + + + ( Với 0 k > ).

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 S = + + + + + + + + + +

2 2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) k k k k k k k k + + + + + + = + + 0,5

4 3 2 2 2

2 2 2 2 1 ( 1) k k k k k k k k + + + + + + = +

4 3 2 2

2 2 2 2 2 1 ( 1) k k k k k k k + + + + + = + 0,5

2 2

2 2 ( 1) ( 1) k k k k + + = +

2 1 ( 1) k k k k + + = + 0,5

( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) k k k k k k + + = = + + +

(đpcm). 0,5

Ta có:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 k k k k k k + + = + = + − + + + 0,25

Khi đó:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 S = + + + + + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 3 4 2022 2023 2023 = + − + + − + + + − +

0,5

1 2021 2021,5 2 = + = . 0,25

b) 2đ

Tìm tất cả các cặp số ( ; ) x y nguyên thỏa mãn: 2 5 0 x xy x y − + + + = .

Ta có : 2 2 5 0 ( 1) 5 (*) x xy x y y x x x − + + + = ⇔ − = + + 0,25

Với 1 x = không thỏa mãn đẳng thức (*).

Khi đó

2 5 7 (*) 2 1 1 x x y y x x x + + ⇔ = ⇔ = + + − − 0,5

Vì , x y nguyên nên suy ra: ( 1) x − là ước nguyên của 7 0,25