Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán – Lớp: 9 THCS.

Thời gian làm bài: 150 Phút.

Đề thi gồm: 01 trang. Câu 1. (3,0 điểm)

1) Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 1 1 1 1 + + = a b c abc . Chứng minh

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 + + + + + = + + + bc ac ba a b c

2) Cho đa thức ( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 ... 2022 = + + + + P x x x x x . Khi khai triển đa thức ( ) P x ta được

( ) 2 2021 2022 0 1 2 2021 2022 ... = + + + + + P x a a x a x a x a x . Tính giá trị của biểu thức

( )

1 3 5 2021 0

0 2 4 2022 1 3 5 2021

... ... 2 ... + + + + = − + + + + + + + + a a a a a S a a a a a a a a

Câu 2. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình ( )( )

3 1 3 1 3 4 2 + + + − = − x x x x

2) Giải hệ phương trình

( )

( )

2 2 1 3

5 2 2 2

+ + =  − + + − = 

x y y

x y x y

Câu 3. (3,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên tố , p q sao cho ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 1 1 − + + = + p q p q q

2) Cho , , , m n p q là các số nguyên thoả mãn ( ) 30 + + +  m n p q . Chứng minh rằng

( ) 5 5 5 5 30 + + +  m n p q

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB AC < nội tiếp đường tròn( ) O . Gọi BH và CQ là hai

đường cao của tam giác ABC . Tiếp tuyến tại B và tại C của đường tròn ( ) O cắt nhau tại M . Đoạn thẳng

OM cắt BC và cắt đường tròn ( ) O lần lượt tại N và D . Tia AD cắt BC tại F ; AM cắt BC tại E và

cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai là K (K khác A ).

1) Chứng minh rằng: . . = AB KC AC KB và   = ABM AHN .

2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN . Chứng minh   0 180 + = IOM ADN . 3) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt QH tại G. Chứng minh ba điểm , , A G N thẳng hàng.

Câu 5. (2,0 điểm)

1) Lấy 2018 điểm phân biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ giác đó ta được

2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của ngũ giác là 1 đơn vị.

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023 điểm đã cho có diện tích không vượt quá

1 4039 đơn vị.

2) Xét , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 3 + + ≥ a b c . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 1 1 1 = + + + + + + + + Q a b c a b c a b c

------------Hết------------ Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.................................................

Họ, tên và chữ ký của GT 1:..............................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:........................

Câu Đáp án Điểm

1.1 (1,5 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 1 1 1 1 + + = a b c abc . Chứng minh

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 + + + + + = + + + bc ac ba a b c

(1,5)

Ta có

1 1 1 1 1 + + = ⇔ + + = ab bc ac a b c abc

0,25 Ta có

( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 + + + + + + + = = = + + + + + + + + + b a c c a b bc bc ab bc ac b c a a ab bc ac a c a b a b a c

0,5

Chứng minh tương tự:

2 1 1 + = + + + + ac a c b a b b c và 2 1 1 + = + + + + ab a b c a c b c

0,25 Do đó:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + bc ac ba b c a c a b a b c a b a c a b b c a c b c

1 1 1 3       = + + + + + = + + =       + + + + + +      

b a c a b c a b a b a c a c b c b c

Vậy 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 + + + + + = + + + bc ac ba a b c khi 1 1 1 1 + + = a b c abc và , , 0 > a b c

0,5

1.2 (1,5 điểm)

Cho đa thức ( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 ... 2022 = + + + + P x x x x x . Khi khai triển đa thức ( ) P x ta

được ( ) 2 2022 0 1 2 2022 ... = + + + + P x a a x a x a x . Tính giá trị của biểu thức

( )

1 3 5 2021 0

0 2 4 2022 1 3 5 2021

... ... 2 ... + + + + = − + + + + + + + + a a a a a S a a a a a a a a

(1,5)

Ta có:

( ) 2 2022 0 1 2 2022 ... = + + + + = P x a a x a x a x ( )( )( ) ( ) 1 2 3 ... 2022 + + + + x x x x

( ) 2 2022 0 1 2 2022 1 .1 .1 ... .1 ⇒ = + + + + = P a a a a ( )( )( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 ... 1 2022 + + + +

( ) 0 1 2 2022 1 ... 2023! ⇒ = + + + + = P a a a a

0,5

Lại có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2022 0 1 2 2022

0 1 2 2022

0 2 2022 1 3 5 2021

1 . 1 . 1 ... . 1 1 1 1 2 ... 1 2022

1 ... 0

... …