Đề HSG Toán 9 cấp huyện năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Sông Lô - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019-2020

MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 01 trang Ngày thi : 06/11/2019

Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x P

x x x x          

a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm các giá trị của x để 0 P . Câu 2 (2 điểm) Cho biết    2 2 2019 2019 2019 x x y y      .

Tính giá trị biểu thức 2019 2019 A x y   .

Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 2 2 4 x x x     .

Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên   ;x y thỏa mãn:

      2 2019 1 2 3 x y y y y      .

Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4 1 p p p p     là số tự nhiên.

Câu 6 (2 điểm) Các cạnh , , a b c của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức:

1 1 1 1 p p a p b p c       với 2 a b c p    . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 3 a b c  .

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 P a b c a b c       .

Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R). Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d. Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và KB.

a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH. b) Tính IH theo R. Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của AC . Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D . Chứng minh 2D DB C  . Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.

==== HẾT ==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh.........................................................SBD:..................Phòng thi................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ

HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2019 – 2020

Môn Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

1

Điều kiện để P xác định là : 0; 4; 9 x x x   .        

2 9 3 3 2 1 2

3 2

x x x x x P

x x

       

 

  

     

1 2 2 1 3 3 2 3 2

x x x x x x x x x x

       

    

0,25

0,25

0,5

Với 0; 4; 9 x x x   , ta có 1 0 0 3 0 9 3 x P x x x

        

Kết luận: 0 9 x   và 4 x  thì 0 P 

0,5

0,5

2

Ta có:       2 2 2 2 2019 2019 2019 2019 2019 x x x x y y x x         

2 2 2019 2019 y y x x       (1)

Tương tự ta có: 2 2 2019 2019 x x y y      (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 x y x y    

0 A  

0,5

0,5 0,5

0,5

3

ĐKXĐ 1 4 x 

 

2

2 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2 x x x x                 

1 1 2 0 4 2 x      (vì 1 1 2 0 4 2 x    )

2 2 x    (tmđk)

0,5

0,5

0,5 0,5

4

Phương trình đã cho tương đương      2 2 2 2019 3 3 2 x y y y y     

Đặt 2 3 t y y   Khi đó pt trở thành:       2 2 2 2019 2 2019 2 x t t x t t       

+ Nếu 0 t  ta có  

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 t t t t t t t t t         

    2 2 2 2019 1 t x t     ( vô lí) + Nếu 0 t  ta có   2 3 0 3 0 3 0 y y y y y       

Vì y Z  nên   3; 2; 1;0 y 

Suy ra          ; 2019;0 , 2019; 1 , 2019; 2 2019; 3 x y    

0,5

0,5

0,5

0,5

5

Theo bài ra ta có   2 3 4 2 * 1 p p p p n n N      

2 3 4 2 4 4 4 4 4 4 p p p p n      (1)

0,5