Tuyển tập 45 đề thi HSG Toán 9 có lời giải chi tiết

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐCẦN THƠ

Đềchính thức

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề.

Câu 1 (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức P = 2m + √

16m + 6 m + 2√m −3 + √m −2 √m −1 + 3 √m + 3 −2

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trịtựnhiên của m đểP là sốtựnhiên.

2. Tính giá trị(a3 + 15a −25)2013 với a = 3p

13 −7 √

6 + 3p

13 + 7 √

6.

Câu 2 (5,0 điểm)

1. Giải phương trình: √x + 5 + √3 −x −2 √

15 −2x −x2 + 1 = 0.

2. Tìm giá trịcủa m đểhệphương trình sau có nghiệm: 2x2 + mx −1 = 0 mx2 −x + 2 = 0

Câu 3 (5,0 điểm)

1. Tìm tất cảcác sốnguyên dương x, y, z thỏa 1

x + 1

y + 1

z = 2.

2. Cho hai sốx, y thỏa mãn: x + y ≤2 x2 + y2 + xy = 3 Tìm giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất của biểu thức T = x2 + y2 −xy.

Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn đểMA + 2MB đạt giá trịnhỏnhất.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A.

1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạtừA xuống PB, PC. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cốđịnh.

2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạtừA, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a2.

—–HẾT—– Ghi chú: Giám thịcoi thi không giải thích gì thêm.

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐCẦN THƠ

Đềchính thức

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề. HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này có 03 trang.)

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

1(5,0đ)

1. (3,5 điểm) a) Điều kiện: m ≥0, m ̸= 1 0,5đ

P = √m + 1 √m −1 2,0đ

b) P = 1 + 2 √m −1 0,5đ

ĐểP ∈N =⇒m ∈{4; 9} 0,5đ 2.(1,5 điểm)

a = 3p

13 −7 √

6 + 3p

13 + 7 √

6 =⇒a3 = 26 −15a 1,0đ

a3 + 15a −25 = 1 =⇒(a3 + 15a −25)2013 = 1 0,5đ

2(5,0đ)

1. (2,5 điểm)

Điều kiện: −5 ≤x ≤3 0,5đ Đặt t = √x + 5 + √3 −x, t2 = 8 + 2 √

15 −2x −x2 =⇒t ≥2 √

2

Phương trình đã cho có dạng: t2 −t −6 = 0 ⇐⇒ t = 3 t = −2 (loại) 1,0đ

t = 3 ⇐⇒√x + 5 + √3 −x = 3

⇐⇒4x2 + 8x −59 = 0 ⇐⇒



 x = −2 + 3 √

7 2

x = −2 −3 √

7 2

1,0đ

2. (2,5 điểm)

Đặt x2 = y ≥0. Hệtrởthành: mx + 2y = 1 −x + my = −2 0,5đ

Hệluôn có nghiệm:

   

  

x = m + 4

m2 + 2

y = 1 −2m

m2 + 2 ≥0 (m ≤1

2)

0,5đ

Ta có: x2 = y ⇐⇒ m + 4

m2 + 2

2 = 1 −2m

m2 + 2 0,5đ

⇐⇒(m + 1) (m2 −m + 7) = 0 ⇐⇒m = −1 1,0đ 3(5,0đ) 1. (3,0 điểm)

Tiếp

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Không mất tính tổng quát giảsử: 1 ≤x ≤y ≤z

=⇒2 = 1

x + 1

y + 1

z ≤3

x =⇒x = 1

1,0đ

=⇒1

y + 1

z = 1 ≤2

y =⇒ y = 1 (vô lý) y = 2 =⇒z = 2 1,0đ

Vậy (1; 2; 2) và các hoán vịcủa chúng là nghiệm của phương trình đã cho 1,0đ 2. (2,0 điểm)

Hệ

( x + y ≤2

x2 + y2 + xy = 3 ⇐⇒

( x + y = 2 −a (a ≥0)

x2 + y2 + xy = 3

0,5đ

Do đó:

( x + y = 2 −a

xy = (2 −a)2 −3 , ∆= S2 −4P ≥0 =⇒0 ≤a ≤4 0,5đ

T = x2 + y2 + xy −2xy = 9 −2(2 −a)2 0,5đ

min T = 1 khi x = 1, y = 1 hoặc x = −1, y = −1 max T = 9 khi x = √

3, y = − √

3 hoặc x = − √

3, y = √

3

0,5đ

4(2,0đ)

O A

B

C

M

M′

Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC = R

2 , ta có điểm C cốđịnh 0,5đ

Dễthấy ∆OCM đồng dạng ∆OMA =⇒MA = 2MC 0,5đ

Ta có MA + MB ≥BC (không đổi) MA + 2MB = 2(MB + MC) ≥2BC

0,5đ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉkhi M nằm giữa B và C Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì MA+2MB đạt giá trịnhỏnhất

0,5đ

5(3,0đ) 1. (2,0 điểm)

Tiếp