Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2014 - 2015 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 5 câu trong 01 trang)

Câu I (5,0 điểm). 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) 4 2 3 4 2 3 M     b) 10 3 11 2 2 N  

2. Cho biểu thức

x x x x A        1

1

1

1 1 4 2

3

2 với 0, 1 x x  .

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Câu II ( 4,0 điểm). 1. Cho hàm số bậc nhất   2 y 1 3m x 5m 2     (1) và đường thẳng d: y 2x 3  .

a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) là hàm số đồng biến trên . b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  

2 y 1 3m x 5m 2     và đường thẳng d cắt

nhau tại một điểm trên trục tung. c) Tìm trên đường thẳng d những điểm có tọa độ thoả mãn đẳng thức 2 2 2 4 0 x y xy     .

2. Giải phương trình 2 5 2 3 2 5 2 2 2 x x x x         . Câu III (4,0 điểm). 1. Cho m là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) 5 m m  chia hết cho 30.

b) Biểu thức

5 3 2 7 30 6 2 10 m m m m P     là một số nguyên.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 3 4 0 x y xy x x      . Câu IV (5,5 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn ( ) O , các đường cao , , AE BF CG cắt nhau tại H ( , , ) E BC F AC G AB    . 1. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm , , , A F H G cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đi qua 4 bốn điểm , , , A F H G . b) . . AG AC AH AE  . c) EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I .

2. Đặt   , EIF IEF     . Tính 6 6 2 2 os os 3sin sin T c c        . Câu V (1,5 điểm).

Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 2 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 1 1 1 Q a b c a b c      .

……………….Hết………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Hướng dẫn chấm gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (5,0đ)

1a (1,0 điểm)

4 2 3 4 2 3 M     = 2 2 ( 3 1) ( 3 1)    0,25

= 3 1 3 1   0,25

3 1 3 1 ( ì 3 1) v    0,25

2 3  0,25

1b (1,0 điểm)

10 3 11 1 10 3 11 2 2 2 2 N     1 20 6 11 2 4   0,5

 

2 3 11 3 11 1 1 3 11 2 2 2 4 4

     

0,5

2 ( 3,0 điểm)

a)

x x x x A        1

1

1

1 1 4 2

3

2 2

3 2 4 1 1 1 1 x x x x x

              0,5

= x x x     1 2 1 4 2

3

2     

2 2

2 2x 4 2 1 x x

1 x 1 x x

        0,5

     2 2 1 x

1 x 1 x x

     = 2 2 1 x x   . 0,5

b) Với x 0

x 1

     thì A = 2 2 2 1 x x 1 A 2 1 x x        . 0,5

A 2  khi x 0  . 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x 0  . 0,25 Câu II (4,0đ)

1 (2,5đ)

a) Hàm số bậc nhất   2 y 1 3m x 5m 2     đồng biến trên  1 3 0 m   0,25

1 3 1 3 m m    . 0,25

b) Đường thẳng y 2x 3   cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 0 x   ta được (0;3) Oy  0,25

Để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung thì tọa độ (0;3) thỏa mãn (1), ta có  

2 2 1 3m .0 5m 2 3 5m 5       2 1 m   0,5

m 1  . Vậy 1 m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 c) Thay y = 2x + 3 vào đẳng thức ta được: x2 + (2x + 3)2 – 2x(2x + 3) – 4 = 0 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC