Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GDKHCN Bạc Liêu

SỞ GIÁO DỤC, KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BẠC LIÊU

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN

Năm học: 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh biểu thức ( )( ) 3 2 3 ( 2) 1 5 1 2 1 S n n n n n n = + + + − + − − chia hết cho 120 , với n là số

nguyên. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 22. x y x y x y x y + − + + − − =

Câu 2: (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

2 3 5 ( 1) ( 0, 1) 1 1 4 a a a a P a a a a a a a a

   + − = + > ≠      − − − +   

b) Giải hệ phương trình ( ) 2 2

2 2 40 0

6 40 0

x x y y

x y

 + − =  + − = 

Câu 3: (4 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 5 2 0 x x m − + − = có hai nghiệm dương phân

biệt 1 2 , x x thoả mãn hệ thức:

1 2

1 1 3 2 x x + = .

b) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3 a b c + + = . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 . 1 2 a b c a b b c c a a b c + + ≥+

Câu 4: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính 2 MN R = . Vẽ đường kính AB của đường tròn ( )( O A khác M và A khác ) N . Tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại N cắt các đường thẳng , MA MB lần

lượt tại các điểm ,I K . a) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp. b) Khi đường kính AB quay quanh tâm O thoả mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính AB để tứ giác ABKI có diện tích nhỏ nhất. Câu 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn ( ) O đường kính AB , điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A

và ) B . Gọi I là điểm chính giữa cung , AC E là giao điểm của AI và BC . Gọi K là giao điểm của AC và BI . a) Chứng minh rằng EK AB ⊥ . b) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp tuyến của ( ) O .

c) Nếu  6 sin 3 BAC = . Gọi H là giao điểm của EK và AB . Chứng minh ( ) 2 2 KH KH HE HE KE + = ⋅ .

---Hết---

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: a) Ta có

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

4 3 2

2 2 2

2 2

5 5 5 6

1 6 5 1

1 5 6

1 1 2 3

1 1 2 3

S n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

= + + − −

  = − + + −  

= − + +

= − + + +

= − + + +

.

Ta thấy S là tích của 5 số nguyên liên tiếp và 120 3.8.5 = +) Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên tích cũng chia hết cho 3 . +) Trong 5 số nguyên liên tiếp sẽ có 2 số chã̃n liên tiếp có dạng 2 2 k + với k ∈. Do đó tích của chúng có dạng ( ) 4 1 k k +

mà ( ) ( ) 1 2 4 1 :8 k k k k + ⇒ + 

+) Trong 5 số nguyên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 5 nên tích của chúng cũng chia hết cho 5 . Vậy S chia hết cho 120 . b) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 22 x y x y x y x y + − + + − − = .

( )( ) ( ) 2 3 5 3 7 x y x y x y ⇔ + − + − − + = ( )( ) 2 5 3 7 x y x y ⇔ + − − + = Vì

( ) ( ) ( ) ( ) 7 1.7 7.1 1 7 7 1 = = = − ⋅− = − ⋅− nên ta có 4 trường hợp xảy ra

1:

10 2 5 1 3 3 7 2 3

x x y x y y

 =   + − =   ⇔   − + =   = −    

(loại)

TH2:

10 2 5 7 3 3 1 16 3

x x y

x y y

 =   + − =   ⇔   − + =   =    

. (loại)

TH3: 2 5 1 2

3 7 8

x y x

x y y

 + − = − = −  ⇔   − + = − =  

TH4: 2 5 7 2

3 1 2

x y x

x y y

 + − = − = −  ⇔   − + = − =  

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là ( ) 2;8 − và ( ) 2;2 −

Câu 2:

a) ( )

( )( ) ( )( )

2 1 3 5 ( 1) 4 1 1 1 1

a a a a a P a a a a a

  −   + −   = + ⋅    − − − −    