Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bình Định

THCS.TOANMATH.com

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2,0 điểm)

1. Không dùng máy tính, giải hệ phương trình: 2 3 1

4 6

+ =  − = 

x y

x y .

2. Cho biểu thức: 2 2 1 . 1 2 1

  + − + = −     − + +  

x x x Q x x x x

; 0 ≥ x , 1 ≠ x .

a) Rút gọn biểu thức Q .

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên lớn nhất.

Lời giải 1.

( ) 2 4 6 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2

4 6 4 6 4 6 1 4 6

 + + = + = + = = − =      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      − = = + = + = − = +      

y y x y x y y x

x y x y x y y x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 2; 1 − .

2. a) Rút gọn biểu thức Q .

Với 0 ≥ x , 1 ≠ x ta có

2 2 1 . 1 2 1

  + − + = −     − + +  

x x x Q x x x x

( ) ( )( ) 2 2 2 1 . 1 1 1

  + − +   = −   − +   +  

x x x Q x x x x

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2 2 2 1 2 1 1 . 1 1 1 1

  + − − + +   = −     + − + −  

x x x x x Q x x x x x

( ) ( )

2 2 2 1 . 1 1

+ − − + + + = + −

x x x x x Q x x x

( ) ( )

2 2 1 . 1 1

+ = + −

x x Q x x x

2 1 − = x Q

Vậy với 0 ≥ x , 1 ≠ x thì 2 1 − = x Q .

Câu 2. (2,0 điểm) 1. Cho phương trình ( ) 2 2 1 1 0 − + + −= x m x m . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai

nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng. 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) d : 4 = −+ y x và điểm ( ) 2;2 A .

a) Chứng minh điểm A thuộc đường thẳng ( ) d .

b) Tìm a để parabol ( ) P : 2 = y ax đi qua điểm A . Với giá trị a tìm được, hãy xác định tọa độ

điểm B là giao điểm thứ hai của ( ) d và ( ) P .

c) Tính diện tích tam giác OAB .

THCS.TOANMATH.com

Trang 3

Lời giải 1.

( ) ( ) 2 1 4.2. 1 ∆= − + − −     m m

2 2 1 8 8 ∆= + + − + m m m

2 6 9 ∆= − + m m

( ) 2 3 0 ∆= − ≥ m với mọi m .

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm. Gọi 1x , 2x là hai nghiệm của phương trình

Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

1 2

1 2 1 2

+  + =  −  = 

m x x

m x x

Theo đề có hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng nên 1 2 1 2 − = x x x x

Do đó ta có hệ phương trình

1 1 2 1 1

1 2 1 2 1 2 2

1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

+    = + = = =         ⇔ ⇔ ⇔     − − − − =     − = − = =       

m m m x m x x x x m m m x x x x x x x

Vì 1 2 1 2 − = m x x nên 1 1 . 2 2 2 2 2 2 − = ⇔ = − ⇔ = m m m m m .

Vậy với 2 = m thì phương trình có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng. 2. a) Thay 2 = x vào hàm số 4 = −+ y x ta được

2 4 2 = −+ = y

Vậy điểm A thuộc đường thẳng ( ) d .

b) Parabol ( ) 2 : = P y ax đi qua điểm ( ) 2;2 A nên

2 1 2 .2 2 = ⇔ = a a

Vậy 2 1 2 = y x .

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) d và ( ) P là

2 2 1 4 2 8 0 2 = −+ ⇔ + − = x x x x (1)

( ) 21 1. 8 9 0 ∆= − − = >

Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

1 1 9 2 1 −+ = = x

2 1 9 4 1 −− = = − x

Với 2 4 = = − x x thì ( ) 4 4 8 = −− + = y , ta được điểm ( ) 4;8 − B

Vậy giao điểm thứ hai là ( ) 4;8 − B .

THCS.TOANMATH.com

Trang 4

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số 2 1 2 = y x và 4 = −+ y x trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Gọi C là giao điểm của đường thẳng 4 = −+ y x với Ox . Khi đó ( ) 4;0 C

( ) 2;2 A nên 2 AK = , 4 OC =

( ) 4;8 − B nên 8 BH =

OAB OBC OAC S S S = −

1 1 . . 2 2 OAB S BH OC AK OC = −

1 1 .8.4 .2.4 12 2 2 OAB S = − = (đvdt)

Câu 3. (1,5 điểm) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13cm , diện tích là 2 30cm . Tính độ dài các cạnh góc vuông. Lời giải Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác là x (cm) và y (cm).

(Điều kiện: 0 ; 13 < < x y )

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ta có

2 2 2 2 2 13 169 + = ⇔ + = x y x y

Vì diện tích tam giác là 2 30cm nên ta có phương trình 1 30 60 2 = ⇔ = xy xy

Do đó ta có hệ phương trình

2 2 169 60

 + =  = 

x y xy

x

y

C

4

8

4

2

2 -4

K H

A

B

O 1