Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 - 2021 sở GDĐT TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,0 điểm)

Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 2020 + + = + + + a b c b c c a a b .

Tính giá trị của biểu thức ( )

2 2 2 :   = + + + +   + + +  

a b c P a b c b c c a a b .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 2 8 6 1

8 1

 − = − +  = + − + 

y xy x x

y x x x

.

Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( ) < < AB BC CA nội tiếp đường tròn ( ) O . Từ A kẻ đường thẳng song

song với BC cắt ( ) O tại 1A . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( ) O tại 1B . Từ C kẻ

đường thẳng song song với AB cắt ( ) O tại 1 C . Chứng minh rằng các đường thẳng qua 1 1 1 , , A B C

lần lượt vuông góc với , , BC CA AB đồng quy.

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho 2 số thực ,a b . Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 ( ) 2 2 + − ≥ + + + a b a b ab a b .

b) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn điều kiện 3 + ≤ a b .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20 7 = − + + Q b a a b .

Câu 5: (2,0 điểm) Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , , AB BC CA lần lượt tại , , . D E F

Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC . Đường

thẳng JD cắt , d BC lần lượt tại , L H .

a) Chứng minh: , , E F L thẳng hàng.

b) , JA JF cắt BC lần lượt tại , M K . Chứng minh: = MH MK .

Câu 6: (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y thỏa mãn phương trình 3 3 1 − = x y .

-------------------- HẾT --------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Lời giải tham khảo

Câu 1: Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 2020 + + = + + + a b c b c c a a b .

Tính giá trị của biểu thức ( )

2 2 2 :   = + + + +   + + +  

a b c P a b c b c c a a b .

Hướng dẫn giải

( )

( ) ( )

2 2 2 :

1 1 1 1 1 1 1 .

1 . . .

1 .

  = + + + +   + + +  

        = + − + + − + + −         + + + + +         + + + + + +   = − + − + −   + + + + +  

    = + + + + − + +     + + + + +    

= + + + +

a b c P a b c b c c a a b

a b c a b c b c c a a b a b c

a b c a b c a b c a a b b c c b c c a a b a b c

a b c a b c a b c b c a c a b a b c

a b c b c a c 1 2020 1 2019 −= −= + a b

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 2 8 6 1

8 1

 − = − +  = + − + 

y xy x x

y x x x

.

Hướng dẫn giải

a. 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x Điều kiện ∈ x .

Đặt

2 2 2

2 2 9 0 4 2 2 1 0

= + + > −  ⇒ = +  = − + > 

a x x a b x b x x

Khi đó phương trình trở thành

2 2 2( ) ( )( ) 2 2 − + = ⇔ + = − + ⇔ − = a b a b a b a b a b a b (do 0) + > a b

Do đó

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 9 2 1 2 2 9 2 2 1

2 9 4 2 1 4 2 1

2 2 2 1 2 4(2 1) 4 4

2 0 2 0 8 7 8 0 8 7 7

+ + − − + = ⇔ + + = + − +

⇔ + + = + − + + − +

≥−  ⇔ − + = + ⇔ − + = + +  ≥−  =   ≥−  =   ⇔ ⇔ ⇔   = − =  =   

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

Vậy 8 0; 7   =     S .