Xem trước nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG THÁP
________________ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN HỌC Ngày thi: 08/8/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (5,0 điểm) Cho số thực dương ??. Xét dãy số (????) xác định bởi ??1 = ?? và
????+1 = ???? 3 −???? 2 + 1 với mọi ??≥1.
a) Khi ??= 1
2 : chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương ??, ta có: ????≥ 2??−1
2??.
b) Chứng minh rằng dãy số (????) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi ??≤1. Câu 2. (6,0 điểm) a) Cho ??, ??, ??, ?? là các số nguyên dương thoả mãn
??2 + ??+ 1 = ???? và ??2 + ??+ 1 = ????. Chứng minh rằng: ??+ ??+ 2 = 4(??+ ??). b) Tìm tất cả các đa thức ??(??) hệ số thực thoả mãn ??(??2 + 3??+ 1) = ??(??)2 với mọi ??∈ℝ. Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân ?????? có các đường cao ????, ????. Đường tròn đường kính ???? và đường tròn đường kính ???? cắt nhau tại các điểm ??, ??. Đoạn thẳng ???? cắt đường tròn đường kính ???? tại điểm ??. Đoạn thẳng ???? cắt đường tròn đường kính ???? tại điểm ??. Các đường thẳng ???? và ???? cắt nhau tại ??. Chứng minh rằng a) Các đường thẳng ????, ????, ???? đồng quy. b) ????= ????. Câu 4. (4,0 điểm) Kí hiệu ?? là tập hợp 2024 số nguyên dương đầu tiên. Hỏi, có tất cả bao nhiêu tập con khác rỗng của của ??, mà tổng tất cả các số thuộc mỗi tập con đều chia hết cho 256?
---HẾT---
Họ và tên thí sinh: ________________________ Số báo danh: ___________________________
Chữ ký CBCT1:___________________________ Chữ ký CBCT2:__________________________
Trang 1/5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG THÁP
________________ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm có 06 trang)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN HỌC Ngày thi: 08/8/2024
______________________________________
I. Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. II. Đáp án và thang điểm
Câu 1. (5,0 điểm)
Cho số thực dương ??. Xét dãy số (????) xác định bởi ??1 = ?? và
????+1 = ???? 3 −???? 2 + 1 với mọi ??≥1.
a) Khi ??= 1
2 : chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương ??, ta có: ????≥ 2??−1
2??.
b) Chứng minh rằng dãy số (????) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi ??≤1.
5.0
a) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp theo ??. Do ??1 =
1
2 và ??2 =
7
8 >
3
4 nên khẳng định đúng với ??= 1 và ??= 2. Giả sử đã đúng tới ??≥2. Ta có
????≥2??−1 2?? > 2 3
Xét hàm số ??(??) = ??3 −??2 + 1 trên [0; +∞), ta có ??′(??) = ??(3??−2). Do đó ??′(??) = 0 khi và chỉ khi ??= 0 hoặc ??= 2
3. Do đó ta có bảng biến thiên
1,0
Từ bảng biến thiên, ta suy ra ??(??) đồng biến trên ቀ
2
3 ; +∞ቁ. Do đó, theo giả thiết quy nạp ????+1 = ??(????)
≥??൬2??−1 2?? ൰
= 8??3 −4??2 + 4??−1 8??3
≥2??+ 1
2??+ 2
1,0
Trang 2/5
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi ??≥1. Lưu ý: Với cách làm trên, nếu trong bước quy nạp khởi đầu, học sinh không kiểm tra ??2 > 2
3 thì trừ 0,5 điểm.
b) Với ??= 1 thì (????) là dãy hằng, do đó có giới hạn hữu hạn. 0,5 Với ??> 1 : Từ đẳng thức ????+1 −1 = ????
2(????−1) với mọi ??≥1 (1) ta suy ra ????> 1 với mọi ??≥1. Từ đó ????+1 −????= (????−1)2(????+ 1) ≥0 (2) ta suy ra (????) là dãy tăng. Nếu (????) có giới hạn hữu hạn, gọi giới hạn đó là ℓ thì ℓ> 1. Mặt khác ℓ= ℓ3 −ℓ2 + 1 ⇔(ℓ−1)2(ℓ+ 1) = 0, mâu thuẫn.
1,0
Với 0 < ??< 1 : ta sẽ chứng minh (????) có giới hạn hữu hạn. Thật vậy, từ đẳng thức (2) và từ ??> 0, ta suy ra (????) là tăng. Mặt khác, từ (1), ta suy ra ????< 1 với mọi ??≥1. Vậy (????) là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
1,0
Gọi giới hạn dãy (????) là ℓ. Khi đó ℓ≥
1
2 và do đó ℓ= ℓ3 −ℓ2 + 1 ⇔(ℓ−1)2(ℓ+ 1) = 0 ⇔ℓ= 1.
0,5
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Cho ??, ??, ??, ?? là các số nguyên dương thoả mãn
??2 + ??+ 1 = ???? và ??2 + ??+ 1 = ????. …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
