Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1.(5đ). Cho dãy số 0 ( ) n n x xác định bởi        2 0 1 0;1 , , 0 n n n x x x x n

a.Chứng minh

  lim 1 n n nx

b.Tìm giới hạn



 (1 ) lim ln

n

n

n nx n

Bài 2.(5đ). Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=1chứng minh

                

1 1 1 3 2( ) a b c b c a a b c b c a a b c b c a

Bài 3.(5đ). Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại trực tâm H.Lấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm đoạn BC.Gọi K là giao điểm của MH và AB,L là giao điểm của AO với BH.Chứng minh KL đi qua trung điểm đoạn EF.

Bài 4.(5đ). Cho a,b,c,d là các số nguyên dương và gcd(a,b)=1.chứng minh

    gcd( , ) gcd( , ) gcd( , ) m m n n m n m n a b a b a b ở đây gcd(x,y) là ước chung lớn nhất của hai số

nguyên x và y.

Bài 5.(7đ). Cho dãy số  0 n n a nguyên có tính chất với mọi số tự nhiên m,đa thức

       1 1 1 0 ( ) ... m m m m m P x a x a x a x a có m nghiệm thực chứng minh    1, m a n n

Bài 6.(7đ). Cho tam giác nhọn ABC và D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ A,B,C.Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF và BDF tương ứng 1 2 , I I .Tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác 1 2 , ACI BCI lần lượt là 1 2 , O O

a.Chứng minh các điểm 1 2 , , , A B I I thuộc 1 đường tròn

b.Chứng minh 1 2 I I song song 1 2 OO

Bài 7.(6đ). Cho n số nguyên dương tìm số hoán vị 1 2 , ,..., n a a a của dãy 1,2,...,n

thỏa    1 2 2 ... n a a na

DeThi.edu.vn