Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN v2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 28/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1.(7đ).a.Cho dãy số   na xác định bởi        1 2 2 1 3, 7, 3 , * n n n a a a a a n với.Tìm

  

1 1

1 lim

n

k i i a a

b.Cho dãy số            3 2 1 1 ; 2, 3 2 9 9 3, *, 2 n n n u u u u n n n n n chứng minh với mọi số

nguyên tố lẻ p thì





1

1

p

i i u chia hết cho

Bài 2.(7đ).Tìm tất cả các hàm  ;f thỏa       ( 1) ( ) ( . ( ) ( )) , , y f x f x f y f x y y x y

Bài 3.(7đ).Cho tam giác không cân ABC trung tuyến AM và các đường cao

  1 1 1 1 , ( , ) BB CC B AC C AB .Đường thẳng qua A vuông góc AM cắt   1 1 1 1 , ( , ) BB CC B AC C AB lần lượt tại E và F.Gọi (k) là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.Giả sử  1 2 , k k là đường tròn tiếp xúc EF đồng thời tiếp xúc cung EF không chứa M của (k)

1)Chứng minh AE=AF

2)Chứng minh nếu  1 2 , k k cắt tại P,Q thì P,M,Q thẳng hàng.

Bài 4.(7đ).Xét dãy số gồm 2021 số 1,2,3,..,2021

1.Mỗi lần lấy ra hai số liền kề nhau bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viết theo thứ tự ngược lại 2021;2020;...2;1 hay không?

2.Mỗi lần lấy ra 10 số hạng bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viết theo thứ tự 1,2,3,..,2021 như ban đầu hay không?

Bài 5(6đ).Giả sử P(x) là 1 đa thức hệ số thực thỏa mãn tính chất với mọi số thực x,y thì

  2 ( ) 2 x P y y khi và chỉ khi   2 ( ) 2 y P x x .Chứng minh x=0 không phải là nghiệm của phương

trình P(x)=0

Bài 6(7đ).Cho p số nguyên tố >3 ,n là số nguyên dương sao cho các số p-1,p,n,n+1 từng đôi một không có ước số chung > 2.Tìm số nguyên dương x,y thỏa

        1 2 1 ... 2 p p n x x x y

DeThi.edu.vn

Bài 7.(7đ).Cho tam giác ABC nhon AB<AC nội tiếp (O).Các đường cao AD,BE và CF của tam giác cắt nhau H(D thuộc BC,E thuộc AC,F thuộc AB.Gọi M là trung điểm BC.Đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại điểm thứ hai K khác A,AM cắt (J) tại điểm thứ hai Q khác A.

1.Chứng minh KF,EQ,BC đồng quy

2.Gọi U là trung điểm đoạn AM,P là điểm di động trên cung nhỏ AC của (O).X là hình chiếu vuông góc của M trên AP.Gọi I là trung điểm PX.Đường thẳng KI cắt (O) tại X khác K.Lấy T thuộc KX sao cho IT vuông góc UI .Chứng minh ST đi qua điểm cố định khi P di chuyển tên cung nhỏ AC của (O).

02

)

câu hình : a : gọi trung điểm lên BB' và CC' là X Y có đc A E X M đồng viên và F A Y M đồng viên, biến đổi góc và dùng ∆ đồng dạng => EMF cân câu b : gọi tiếp điểm của (K1) và (K2) lên EF là G,I, dùng bổ để archimedes => DG HI đồng quy tại M mà MF² = MG.MD=MI.MH => M thuộc trục đẳng phương của (K1) và (K2) nên có dpcm

DeThi.edu.vn