Xem trước nội dung
ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019
Câu 1: (6,0 điểm)
1. Cho hàm số 2 3 ( ) 1 − = − x y C x
và đường thẳng : 1 0 − −= d x y . Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến đó song song với d.
2. Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 = − + − + + y x mx m x m đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞.
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
2
4 4 2sin
sin cos 2 2
= +
x f x x x .
2. Giải hệ phương trình ( ) ( )
3 3 2 2 3 2 2 15 10 0 ; 2 3 2 2
− − − + + − = ∈ − + − = −
ℝ x y x y y x x y y x x .
Câu 3: (4,0 điểm) 1. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số
0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9 . Xác định số phần tử của S . Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,
tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ( ) ( ) 0;9 , 3;6 A B . Gọi D là miền nghiệm của hệ
phương trình 2 0
6 3 5 0
− + ≤ + + ≥
x y a
x y a . Tìm tất cả các giá trị của a để ⊂ AB D .
Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho hình chóp SABC . Trên các đoạn thẳng , , SA SB SC lần lượt lấy các điểm ', ', ' A B C khác
với điểm S . Chứng minh rằng: .
. ' ' ' . . ' ' ' = S ABC
S A B C
V SA SB SC V SA SB SC
2. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD , có , 3 = = AB a SA a . Gọi O là giao điểm của AC và
BD , G là trọng tâm tam giác SCD .
a) Tính thể tích khối chóp . . S OGC
b) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng ( ) SBC .
c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SAvà BG .
Câu 5: (2,0 điểm)
1. Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 6 1 0 1 + + − + − −= m x x x m x . Tìm các giá trị của m để
phương trình ( )1 có nghiệm thực.
2. Cho đa thức ( )
4 3 2 1 = + + + + f x x ax bx ax
có nghiệm thực. Chứng minh rằng
2 2 4 1 0 + − + > a b b .
DeThi.edu.vn
HDG
Câu 1: (6,0 điểm)
1. Cho hàm số 2 3 ( ) 1 − = − x y C x
và đường thẳng : 1 0 − −= d x y . Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến đó song song với d.
2. Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 = − + − + + y x mx m x m đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞.
Tập xác định: . ℝ
Lời giải
1. : 1 0 : 1 − −= ⇒ = −⇒ d x y d y x d có hệ số góc 1. = dk
Xét hàm số 2 3 ( ) 1 − = = − x y f x x :
+ Tập xác định { } \ 1 . = ℝ D
+
( )
/ 2 1 ( ) , x 1. 1 = ∀≠ − f x x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( ) C tại 0 0 0
2 3 x ; 1
− −
x M x thì ∆: / 0 0 0 0
2 3 ( )( ) 1 − = − + − x y f x x x x
+ Giả sử / / ∆ d ta được
( )
0 / 0 2 0 0
0 1 ( ) 1 2 1
= = ⇔ = ⇔ = − d x f x k x x .
+ Thử lại:
0 0 : 3 = ⇒∆ = + i x y x thỏa mãn / / ∆ d .
0 2 : 1 = ⇒∆ = −⇒ i x y x . ∆≡d Trường hợp này không thỏa mãn.
Vậy có đúng một tiếp tuyến của ( ) C thỏa đề, đó là : 3. ∆ = + y x
2. 2 / 2 3 6 3( 1), x = − + − ∀∈ℝ y x mx m
/ 1 0 1
= − = ⇔= −
x m y x m : Hai nghiệm phân biệt với mọi . m
Bảng biến thiên
DeThi.edu.vn
Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ( ) 2; 2; 1; 1 2 1. +∞⇔ +∞⊂ + +∞⇔ + ≤ ⇔ ≤ m m m
Vậy m cần tìm là 1. ≤ m
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
2
4 4 2sin
sin cos 2 2
= +
x f x x x .
2. Giải hệ phương trình ( ) ( )
3 3 2 2 3 2 2 15 10 0 ; 2 3 2 2
− − − + + − = ∈ − + − = −
ℝ x y x y y x x y y x x .
Lời giải
1. Ta có
2 4 4 2 2 2 1 2 sin sin cos 1 2sin cos 1 sin 0, . 2 2 2 2 2 2 − + = − = − = ≠ ∀ x x x x x x x
Cách 1:
Khi đó ( )
2
2 2 4sin 8 4 2 sin 2 sin = = − − − x f x x x .
Vì 2 2 0 sin 1 1 2 sin 2 ≤ ≤⇒≤− ≤ x x nên 2 8 4 8 2 sin ≤ ≤ − x . Do đó ( ) 0 4 ≤ ≤ f x .
Ta có ( ) ( ) 2 0 sin 0 sin 0 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ f x x x x k k π ,
( ) ( ) 2 4 sin 1 sin 1 2 2 = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ℤ f x x x x k k π π .
Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) f x là 0 đạt được khi ( ) = ∈ℤ x k k π ,
giá trị lớn nhất của ( ) f x là 4 đạt được khi ( ) 2 2 = ± + ∈ℤ x k k π π .
Cách 2: Đặt 2 sin = x t , Điều kiện [ ] 0;1 ∈ t
2. Điều kiện: 3
2
≤ ≤
x
y .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 1 3 1 1 − + − = − + − x x y y
y2 y1 +∞
-∞
+ + _ 0 0
+∞ -∞ m+1 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
