Xem trước nội dung
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com – book.mathvn.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ --------------------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010- 2011 -----------------------------------------------------
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 05 tháng 11 năm 2010 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1 ( 3 điểm ). Giải phương trình: (6 sin x – 2 sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27
Câu 2 ( 3 điểm). Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
+ = − + + = − +
+ = − +
x x y x
y y z y
z z x z
Câu 3 ( 4 điểm)
Cho dãy số (un) xác định bởi
1
2 1
3
1 ( 4), 1,2,3,... 5 n n n
u
u u u n +
= = + + =
a) Chứng minh rằng ( ) nu là dãy tăng nhưng không bị chặn trên
b)
1
1 § , 1,2,3,... : lim 3 →∞ = = = + ∑
n
n n n k k Æt v n TÝnh v u
Câu 4 ( 5 điểm) Hình chóp n- giác đều có góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy bằng α , góc tạo
bởi giữa cạnh bên và mặt đáy β . Chứng minh rằng:
2 2 2 sin sin tan 2n
π α β − ≤
Câu 5 ( 3 điểm) Xét x, y ∈R thỏa mãn điều kiện: 3 6 2 4 4 3 18 2 − + = + − x x y y
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của bỉểu thức 1 2 3 = + − x y P
Câu 6 ( 2 điểm)
Cho đa thức f(x) có bậc là 2010 thỏa mãn: ( ) 1 = f n n với n = 1, 2, 3, …2011.
Tính f(2012). ------------------ Hết ------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: ……………………
Đề chính thức
DeThi.edu.vn
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com – book.mathvn.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ --------------------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN -----------------------------------------------------
Câu 1 ( 3 điểm ). Giải phương trình: (6 sin x – 2 sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27 (1) Lời giải chi tiết Điểm (1) ⇔ [6 sin x – 2 (3 sin x – 4sin3x) +1]3 = 27(6 sin x – 1) (1)
O,5đ
⇔ (8 sin3 x +1)3 = 27(6 sin x – 1)
3 3 8sin 1 3 6sin 1 x x ⇔ + = − O,5đ
Đặt: 2 sin x = t ( ) 2 t ≤
Phương trình trở thành:
3 3 1 3 3 1 t t + = −
O,5đ
Đặt: 3 3 1 u t = −. Ta có hệ:
3
3
1 3
1 3
u t
t u
+ = + = Giải ra ta được t = u
O,5đ
Với t = u: ta có phương trình: t3 – 3 t + 1 = 0 Khi đó, theo cách đặt, ta có: 8 sin3 x - 6 sin x +1 = 0 ⇔ 2 sin 3x = 1 O,5đ
⇔ 2 sin 3x = 1 1 sin3 2 x ⇔ = ⇔
2 18 3 5 2 18 3
x k
x k
π π
π π
= + = +
O,5đ
Câu 2 ( 3 điểm ). Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
+ = − + + = − +
+ = − +
x x y x
y y z y
z z x z
Lời giải chi tiết Điểm Điều kiện: x, y, z ∈R
Hệ trở thành
( )
( )
( )
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 3 3 3 1
2 3 3 3 2
2 3 3 3 3
+ + = + + + = + + + = +
x x x y
y y y z
z z z x
0, 5 đ
Đặt: f(t) = t3 +2 t2 + 3 t, t∈R và g(t) = 3 3 3 + t , t∈R 0,5 đ
DeThi.edu.vn
MATHVN.COM | www.mathvn.com
www.mathvn.com – book.mathvn.com
Hệ trở thành:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = =
f x g y
f y g z
f z g x
Ta có: f’(t) = 3 t2 + 4 t + 3 > 0 ∀ t∈R và g’(t) = 9 t2 0 ≥ ∀∈ x R Nên f, g là 2 hàm số đồng biến trên R 0,5 đ Giả sử (x; y; z) là nghiệm của hệ , không giảm tính tổng quát giả sử x≥y Từ (1) và (2) ta có: g(y) ≥ g(z) suy ra y≥z nên từ (2) và (3) ta có: g(z) ≥ g(x) suy ra z≥ x . Từ đó ta có: x = y = z Thay vào hệ phương trình ta được hệ có 3 nghiệm:
(1; 1; 1); 3 3 3 3 3 3 ; ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2
− − −
1,5 đ
Câu 3 ( 4 điểm)
Cho dãy số (un) xác định bởi
1
2 1
3
1 ( 4), 1,2,3,... 5 n n n
u
u u u n +
= = + + =
a) Chứng minh rằng ( ) nu là dãy tăng nhưng không bị chặn trên
b)
1
1 § , 1,2,3,... : lim 3 →∞ = = = + ∑
n
n n n k k Æt v n TÝnh v u
Lời giải chi tiết Điểm a)
+ Ta có ( ) 2 n 1 n n n n 1 5 u u u u 4 u 5 5 + − = + + − ( ) 2 n 1 u 2 0 ; n 1,2,... 5 = − ≥ ∀=
+ Vậy ( ) n u là dãy tăng. Từ đó, un ≥ u1 = 3 n 1,2,... ∀=
0, 5 đ
+ Mặt khác nếu dãy ( ) n u bị chặn trên thì nó sẽ có giới hạn. Giả sử
( ) n nlim u a a 3 →+∞ = ≥
+ ( ) 2 n 1 n n n n 1 lim u lim u u 4 5 + →+∞ →+∞ = + + ( ) 2 1 a a a 4 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
