Bài tập môn Toán Lớp 12 - Một số bài toán về thể tích

Một số bài toán về tỷ số thể tích

A. Mục tiêu:

- Rèn kỹ năng dùng thiết thiện và tính diện tích thiết diện.

- Nắm được công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.

- Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số thể tích.

B. Nội dung:

I. Công thức cần nhớ:

1. Thể tích khối chóp:

V= 1

3 B.h

B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đường cao.

2. Thể tích khối lăng trụ:

V=B.h

B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đường cao.

3. Tỷ số thể tích:

Cho khối chóp S.ABC.

A'SA, B'SB, C'SC

.

. ' ' '

. . '. '. '

S ABC

S A B C

V SA SB SC V SA SB SC 

* MSC, ta có: .

.

. . . .

S ABM

S ABC

V SA SB SM SM V SA SB SC SC  

II. Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0x2a).

1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.

2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau.

Hd:

S

A

B

C

D

H

A

B

C

D

A

B'

C'

D' H

C

B

A

S

A'

B'

C'

A

C

B

S

M

DeThi.edu.vn

1. Thiết diện là hình thang vuông

MNCB, vuông tại B và M.

1 ( ) 2 MNCB S MN CB MB  

* BM2=BA2+AM2

BM= 2 2 a x  * SMN đồng dạng SAD,

 . (2 ). 2 SM AD a x b MN SA a   

Vậy

2 2 2 2 1 2 . (4 ) 2 2 4 MNCB

ab bx b S b a x a x a x a a             

2. Xét hàm số 2 2 ( ) (4 ) 4

b f x a x a x a    (0x2a)

2 2

2 2 2 4 '( ) 4

b x ax a f x a a x

          

f'(x)=0 

1 (1 ) 2 1 (1 ) 2

x a

x a

       Ta có: f(0)=ab.

f(2a)= 5 1,118 2 ab ab 

f( 1 (1 ) 2 a  )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 1,134 4 2 2 ab ab    

f( 1 (1 ) 2 a  )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 0,96 4 2 2 ab ab    



 

2

0;2

1 1 1 ( ) . .(3 ) 1 (1 ) 4 2 2 a Max f x ab     khi 1 (1 ) 2 x a  

Kết luận: Vậy với 1 (1 ) 2 x a   thì diện tích của thiết diện lớn nhất.

3. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD 

2

.

1 2 . . 3 3 S ABCD ABCD

a b V SA V S   

Gọi V1 là thể tích khối S.MNCB V1=V(SMBC)+V(SMNC)

Ta có . . 2 . . 2

SMBC

SABC

V SM SB SC SM a x V SA SB SC SA a    

VSABC= 2 1 1 . ( ) .2 3 6 2 V SA dt ABC a b   

2 2 2 (2 ) . . 2 2 2 3 6 SMBC

a x V a x a b a x ab V a a      

* Ta có:

2 2

2 . . (2 ) . . . 4

SMNC

SACD

V SM SN SC SM SN MN a x V SA SC SD SA SD AD a           

 VSACD=

2

2 3 V a b 

S

A

M N

D

C B

DeThi.edu.vn

 VSMNC=

2 2 2

2 (2 ) (2 ) . . 4 3 12 a x a b a x b a   

V1= VSMNCB=

2 (2 ) (2 ) 6 12 a x ab a x b   

Ycbt  V1=

2

2 3 V a b  

2 2 (2 ) (2 ) 6 12 3 a x ab a x b a b      x2-6ax+4a2=0

 (3 5) 2 ( )

(3 5) ( / )

x a a loai

x a t m

   

   Kết luận: Vậy x= (3 5) x a   thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tương đương.

Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Các mặt phẳng (ABC1) và

(A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.

Hd:

Gọi V1=

1 . C MNC V ; V1=

1 1 1 . C MNB A V

V3= . C MNBA V ; V4=

1 1 MNABB A V

Gọi V là thể tích của lăng trụ.

1 1 1 . 1 2 C A B C V V V  

Mặt khác:

1 1 1

1 1

. 1 1 1

. . 1 . . 4 C A B C

V CM CN CC V CA CB CC  

 1 2 1 1 . ; . 4 3 12 3 12 4 V V V V V V V     

1 1 1 1 1 1 3 2

3

4 1 2 3

4

5

12

C ABC CMNC CA B C CMNC V V V V V V

V V

V V V V V V

    



    

Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x 2 (0<x<a). () là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).

1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện theo a và x.

2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.

Hd:

A B

C M

N A' B'

C'

DeThi.edu.vn