Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 41 (Có đáp án)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn A b) Tìm x để c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2 a) Tìm các số x, y, z biết và b) Chứng minh rằng với thì và luôn có chữ số tận cùng giống nhau Bài 3

a) Tính giá trị biểu thức

b) Chứng minh bất đẳng thức với x, y cùng dấu (với ; )

Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ; )

Bài 4 Cho hình thang ABCD ( ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên theo thứ tự tại M và N. a) Chứng minh

b) Chứng minh rằng

c) Biết (đvdt); (đvdt); Tính . Bài 5. Cho ba số x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

5 2

3 2 x x A x x x    

0 A A  

2 2 2 x y z xy yz zx      2015 2015 2015 2016 3 x y z   

n ¥ 5 n n

4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1 1 3 5 ... 29 4 4 4 4 1 1 1 1 2 4 6 ... 30 4 4 4 4

A

                                           

2 x y y x   0 x  0 y 

2 2

2 2 3 5 x y x y P y x y x           

0 x  0 y 

/ / AB CD

OM ON 

1 1 2 AB CD MN  

2 2015 AOB S  2 2016 COD S  ABCD S

3 x y z   

B xy yz xz   

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 1 HS tự làm Bài 3

a) Ta có

Mặt khác

Vậy

b)Vì x, y cùng dấu nên , do đó (*) (**)

Bất đẳng thức (**) đúng nên bất đẳng thức (*) đúng.

Đặt , khi đó ta có:

Nếu x, y cùng dấu nên ; Vậy (1)

Nếu x, y trái dấu thì ; ;

(2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi ; thì Vậy Bài 4

a) Ta có ; ;

Do đó

b) Ta có

N M

O

D C

B A

2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 2 a a a a a a a                        

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 ... 29 29 29 29 2 2 2 2 2 2                                

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 ... 30 30 30 30 2 2 2 2 2 2                                    

    2 2 1 1 1 1 2 2 k k k k       

2

2

1 1 1 1 2

1 1861 30 30 2

A

    

0 xy  2 x y y x    

2 2 2 2 0 x y xy x y      

2 2

2 2 2 2 x y x y t t y x y x     

   2 3 3 2 1 1 P t t t t       

2 2 0 t t       1 0 2 1 0 1 t t t P       

1 2 P t x y   

0 x y  0 0 1 0 y t t x    2 0 t  

   1 2 0 1 t t P      

0 x  0 y  1 2 P t x y   

1 minP x y  

/ / OM AO MO DC DC AC   / / ON BN NO DC DC BC   / / AO BN ON AB AC BC  

OM ON OM ON DC DC   

DeThi.edu.vn

;

;

c) Ta có ; ;

Mà , khi đó ta có

Bài 5 Cách 1 Ta có

(luôn đúng) Ta có

Vậy Cách 2 Ta có

Vậy

OM DM AB AD  1 1 1 OM AM DM AM DM AM AD OM DC AD AB CD AD AD AD AD                ON CN AB CB  1 1 1 ON BN CN BN CN BN BC ON CD BC AB CD CB BC BC BC               

  1 1 1 1 1 1 2 . 2 . 2 OM ON MN AB CD AB CD AB CD MN                      

AOB

AOD

S OB S OD  BOC

DOC

S OB S OD  . . BOC AOB

BOC AOD AOB DOC DOC AOD

S S S S S S S S    

 

2 . AOD BOC AOB DOC AOD S S S S S   

 

2 2 2 2015 .2016 2015.2016 AOD AOD S S   

2 2 2 2 2015 2.2015.2016 2016 4031 ABCD AOB AOD BOC COD AOB AOD COD S S S S S S S S           

2 2 2 x y z xy yz zx     

2 2 2 0 x y z xy yz zx       

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y z xy yz zx       

      2 2 2 0 x y y z z x       

      2 2 2 2 9 2 3 x y z x y z xy yz zx xy yz zx            

9 3 3 xy yz zx     

3 1 maxB x y z     

     3 B xy yz xz xy z x y xy x y x y                  

2 2 2 3 3 3 B xy x y x y x y xy x y          

 

2 2 2

2 3 3 6 9 3 3 1 3 3 2 4 2 4 y y y y B x x y                          3 1 maxB x y z     

DeThi.edu.vn