Đề thi học sinh giỏi cấp huyện, vòng II môn Toán 9 - Năm học 2011-2012

PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG II

NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P

x x x x x x x         a. Rút gọn P . b. Tính P khi 3 2 2 x   . c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2. Giải phương trình:

a. 2 10 27 6 4 x x x x       b. 2 2 2 4 0 x x x x x      Câu 3.

a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x    

b. Cho 1; 0 x y  , chứng minh:

3

3 3 1 1 1 3 2 3 ( 1) 1 x x x x y y x y                     c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1 A n n    là số nguyên tố. Câu 4.

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.

a. Chứng minh: 2 2 1 1 AE AF  không đổi

b. Chứng minh: · · · · · os sin .cos sin .cos c AKE EKF EFK EFK EKF   c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD. Câu 5.

Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.

Hết./.

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang)

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm

a

2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2)

( 2) 2( 1) 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

2 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)

x x P

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

       

               

             

0,25

0,25

0.5

b

2 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) 2 1 x x         

( 1) 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 x P

x

        

0.25

0.25

1

c

ĐK: 0; 1 x x  :

( 1) 1 2 2 1 ( 1) 1 1 x x P

x x x        

Học sinh lập luận để tìm ra 4 x hoặc 9 x 

0.25

0.25

0.25

2,25

a

ĐK: 4 6 x   :

2 2 10 27 ( 5) 2 2 VT x x x        , dấu “=” xẩy ra 5 x  

2 2 2 2 6 4 (1 1 )(( 6 ) ( 4) ) 2 VP x x x x VP            , dấu “=” xẩy ra

1 1 6 4 5 6 4

x x x x x          

5 VT VP x    (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: 5 x 

0.25

0.25

0.25

0.25

2

b

ĐK: 0 x . Nhận thấy: 0 x không phải là nghiệm của phương trình, chia cả

hai vế cho x ta có:

2 2 4 4 2 2 2 4 0 2 0 ( ) ( ) 2 0 x x x x x x x x x x x x x                 

Đặt 2 2 2 4 4 0 4 4 x t t x x t x x x          , thay vào ta có:

 2 2 3 ( 4) 2 0 6 0 ( 3)( 2) 0 2 t t t t t t t t

             

Đối chiếu ĐK của t

0.75

1,75

DeThi.edu.vn

4 2 3 3 3 2 0 ( 2)( 1) 0 1 x t x x x x x x x

               

a

2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 ( ) ( 1)( 2) y xy x x xy y x x x y x x                (*)

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp

nên phải có 1 số bằng 0. 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y               

Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1) x y  hoặc ( ; ) ( 2;2) x y 

0.5

b

1; 0 x y   3 3 1 1 1 1 0; 0 0; 0; 0 ( 1)

x x y x y y         

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:

3 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3. .1.1 2 (1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x        

3 3 3

3 1 1 1 3( 1) 1 1 3 .1.1 2 (2) x x x x y y y y                          

3 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3. .1.1 2 (3) y y y y    

Từ (1); (2); (3):

3

3 3

3

3 3

1 1 1 3 3( 1) 3 6 ( 1) 1

1 1 1 3 6 6 3 3 2 3( ) ( 1) 1 1

x x x y y x y y

x x x x x x y y x y x y

               

                   

0.75

3

c

Xét 0 n  thì A = 1 không phải nguyên tố; 1 n  thì A = 3 nguyên tố.

Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + …