Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Nghĩa Đàn (Có đáp án)

1

Phòng GD-ĐT Nghĩa đàn Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2011-2012 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề ) Bài 1:

1. Cho 5 12 2( 3) 3 6 2 3 x x x x x P

x x x x           

Tìm ĐKXĐ và rút gọn P Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2. Chứng tỏ rằng 3 3 0 9 4 5 9 4 5 x     là nghiệm của phương trình:  

2011 3 3 17 1 0 x x   

Bài 2 : ( ý 4 của bài 2 thí sinh bảng B không phải làm ) 1. Giải các phương trình sau: Giải phương trình : 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x       Giải phương trình : x2 + 2x + 15 = 6 5 4  x

2. Cho a > 0, b > 0 và a + b 1 . Tìm GTNN của biểu thức A = 2 2 2 2 1 1

b a b a   

3. Tìm số tự nhiên n để n + 21 và n – 18 là hai số chính phương. 4. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2 x xy y x y    Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bằng 2 Bài 4 : Cho đường tròn ( O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: CI = CK CH2 = AI . BK AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. Bài 5: (Bài 5 thí sinh bảng B không phải làm ) Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2 MB đạt GTNN? Hết Họ và tên thí sinh: …………………………. Số báo danh: ……………………….

§Ò chÝnh thøc

DeThi.edu.vn

2

Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn Kỳ thi chọn học sinh giỏi Huyện lớp 9 THCS ọc 2011 - 2012

hướng dẫn và biểu điểm Chấm BảNG A (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)

Môn: toán Lớp 9 ---------------------------------------------- Câu Nội dung Bài 1

§KX§: 0, 9 x x   Víi 0, 9 x x   ta cã:

  

 

       

  

  

      

  

  

2

2 3 5 12 3 2 3 2 3

5 12 2 3 3 2

2 3

5 12 2 12 18 5 6

2 3

3 12 36

2 3

3 12 3

2 3

3 12

2 3

12 2

x x x x x P x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

          

         

          

     

     

    

  

B Víi 0, 9 x x   ta cã: 12 16 16 2 2 4 2 2 2 x P x x x x x            

áp dụng bất dẳng thức Cosy cho 2 số không âm 2 x  và 16

2 x  ta cã:

  16 16 2 2 2 8 2 2 x x x x       

Dấu đẳng thức xảy ra 2 x =  

2 2 16 2 4 4 2 x x x

      (TM)

Vậy Giá trị nhỏ nhất của 4 4 P x    2)

DeThi.edu.vn

3

Ta cã:

 

3 3 3 3 3 0 0

3 0 0

3 0 0

9 4 5 9 4 5 18 3 (9 4 5)(9 4 5).

3 18 0

3 17 1

x x

x x

x x

       

   

   

Suy ra: 

2011 3 2011 0 0 3 17 1 1 1 0 x x     Do đó x= 0x là một nghiệm của phương trình. Bài 2

1a a- 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x       (1)

§KX§: 3 5 2 2 x  

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: VT= 2 3 5 2 2(2 3 5 2 ) 2 x x x x       Dấu “=” xảy ra khi 2 3 x = 5 2x   x= 2 Ta lại có: VP = 2 2 3 12 14 3( 2) 2 2 x x x       Dấu “=” xảy ra khi x = 2 Do đó VT = VP  x = 2 ( TMĐKXĐ) vậy  2  S 1b ĐK: 4 5   x

Ta có : x2+2x+15 = 6 5 4  x (x2-2x+1) +(4x+5 -2.3 9 5 4   x ) =0

 (x-1)2 +  0 3 5 4 2    x     

 

  

 

0 3 5 4

0 1

2

2

x

x

x=1 (TM)

Vậy phương trình có nghiệm là x=1 2. Ta có A =                        2 2 2 2 2 2 1 1 16 15 16 1 16 1 b a b b a a

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2 1 16

1

2 2  

a a , 2 1 16

1

2 2  

b b , ab ab b a 2

4 2 1 1

2 2   

Mặt khác ta có: 2 2 2 2 4 1 1

b a b a   

Từ đó suy ra: 2  

16 16 2 4 .4 2 1 1 4 1 1

2 2 2 2 2 2 2                       b a ab b a ab b a b a

suy ra: 8 1 1

2 2  

b a

Vậy: A 2 17 2 15 2 1 2 1     .

Dấu “=” xảy ra khi:

2 1 1          b a b a b a

DeThi.edu.vn