Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÀO CAI LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Năm học 2019-2020.Ngày thi 04/06/2020

Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM

Câu 1(4 điểm).Cho biểu thức

                        

1 1 1 : 1 1 1 1 1 xy x xy x x x P

xy xy xy xy

với   , 0, 1 x y xy .

a)Rút gọn P b)Cho   4 xy y tìm min của P

y .

Câu 2: (4,0 điểm). 1.Cho phƣơng trình 2 x x 3 0 m m    tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thỏa 2 2 1 2 1 2 10x 68 0 x x x    

2.Giải hệ phƣơng trình

2 2 2

2 3 2x 0 2 4x 3 x y y x y

        

Câu 3: (6,0 điểm). Cho A cố định ngoài (O),kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với B,C tiếp điểm.Trên cung lớn BC lấy D sao cho DB<DC và D không trùng B.Kẻ tiếp tuyến tại D của (O) cắt hai tiếp tuyến AB,AC tại E,F

DeThi.edu.vn

a.Gọi H là giao điểm của FO và BC,chứng minh 5 điểm B,E,D,O,H cùng thuộc 1 đƣờng tròn b.Kẻ phân giác DI của góc BDC với I thuộc BC .Kẻ phân giác OJ của góc EOF với J thuộc EF.Chứng minh DI//OJ c.Chứng minh IJ luôn qua 1 điểm cố định Câu 4: (4,0 điểm). a.Cho a,b,c>0 thỏa ab+bc+ac+abc=4.Tìm max của

2 2 2 4 4 4 ( ) 20 ( ) 20 ( ) 20 P a b c b a c         

b.Cho (P) là đồ thị của hàm số y = 2 2x và (d):y=5x-3m-1.Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm A,B sao cho 1 2 1 2 15; ; y y y y   là tung độ của A,B Câu 5: (2,0 điểm).Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phƣơng trình:

2 2 2 2 7 4x x y x y y   

Lời giải Câu 1(4 điểm).Cho biểu thức

                        

1 1 1 : 1 1 1 1 1 xy x xy x x x P

xy xy xy xy

với   , 0, 1 x y xy .

a)Rút gọn P b)Cho   4 xy y tìm min của P

y .

Lời giải a.Ta có  P xy

b.Ta có                   

2 4 1 2 1 1 1 1; 64 4 16 16 4 P x x x y y y y y y y

Câu 2: (4,0 điểm). 1.Cho phƣơng trình 2 x x 3 0 m m    tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thỏa 2 2 1 2 1 2 10x 68 0 x x x    

2.Giải hệ phƣơng trình

2 2 2

2 3 2x 0 2 4x 3 x y y x y

        

Lời giải

1.Ta có 5 0 1 m

m

     

.Ta có

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10x 68 0 (x ) 12x 68 0 16 4 x x x x x m m             (theo điều kiện).

DeThi.edu.vn

2.Ta có

2 2 2

2 2 2 2 3 2 3 2x 0 2( 2x ) (2 4x 3) 0 2 4x 3 x y y x y y x y x y

                

2 2 2 ( 1)(2 2 3 3) 0 y x y x y y       . Với 1 0 1 1 y y x    . Với

2 2 2 2 ' 4 2 2 2 3 3 2 2 3 3 0; 1 0 1 1;2 2 3 3 0 2 2 x x y x y y y y x y x y y y                       .Lúc đó hệ vô nghiệm. Câu 3: (6,0 điểm). Cho cố định ngoài (O),kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với B,C tiếp điểm.Trên cung lớn BC lấy D sao cho DB<DC và D không trùng B.Kẻ tiếp tuyến tại D của (O) cắt hai tiếp tuyến AB,AC tại E,F a.Gọi H là giao điểm của FO và BC,chứng minh 5 điểm B,E,D,O,H cùng thuộc 1 đƣờng tròn b.Kẻ phân giác DI của góc BDC với I thuộc BC .Kẻ phân giác OJ của góc EOF với J thuộc EF.Chứng minh DI//OJ c.Chứng minh IJ luôn qua 1 điểm cố định

R

K

N

M

F

I

P O A

B

C

D

E

H

J

Lời giải a.Ta có 0 0 D 90 D 180 OBE O E OBE O E      tứ giác OBED nội tiếp (1).Ta có D ; D O H OCH OBH OCH O H OBH     hay tứ giác BHOD nội tiếp (2).Từ đó có dpcm. b.Ta có FO vuông góc DC tại N và EO vuông góc DB tại M.Lúc đó ta có

0 0 0 D 180 D 90 MD 90 ; MON M N MOJ N I MOJ I        

0 D D 90 D / / O MK M K MK MOJ DI J      .

DeThi.edu.vn