Đề đề xuất học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Mỹ Thọ (Có đáp án)

Nguyễn Việt Toàn

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ THỌ

ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 3,5 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:

A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > 0 và a + b = 1.

Chứng minh rằng :

Bài 4: ( 3,0 điểm)

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 5: ( 4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC.

Chứng minh: PQ // IK. Bài 6: ( 4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .

Tính

2 2 1 1 12,5 a b a b                

2 2 1 1                 E x y y x

c b a h

z h

y h

x M   

DeThi.edu.vn

Nguyễn Việt Toàn

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2011-2012

Bài 1 (3,5đ)

Với n = 0 ta có A(0) = 19 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1

= 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 = 6.A(k) + 7.52k .19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n

0,5 0,75 0,75

1,0 0,5 Bài 2 (2,5đ)

1

Ta có:

Vậy:

n = 452 – 24 = 2001

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5

Bài 3 (3,0đ)

Nhận xét rằng với mọi x,y ta có:

Đặt ta được :

Vì

Do đó :

0,5

0,5

0,75

0,5

0,75

Bài 4 (3,0đ) Ta có

Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0.

0,5

1,0

M

M

M

M



 

 

 

2

2

65

24

h n

k n

2 2 k 24 h 65        89 .1 89      h k h k

  

     

 

   44 45 1

89

h k h k

h k

 

 

 

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

0 2

2 2

x 2

x y x y xy

x y x y xy

x y y

    

    

   

1 1 ; a x b y a b                

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b a b a b a b a b a b ab ab                                           

 

2 1 1 4 4 a b ab ab     

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 12,5 1 2 2

4

a b a b ab

                                   

2 2

2 2 1 1 ( ) 2 x y E x y x y y x                   1 1 4 a b a b   

DeThi.edu.vn

Nguyễn Việt Toàn

Ta có

Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0.

Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y =

1,0

0,5

Bài 5 (4,0đ)

- Vẽ hình đúng - Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra:

- Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra:

PQ // IK

0,5

1,5

1,5

0,5

Bài 6 (4,0đ)

Vẽ hình đúng

Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :

SABC = (1)

SOBC = (2)

Từ (1)và (2) ta suy ra :

Tương tự ta có :

Từ đó tính được : =1

0,5

0,5

1,0

0,5

0,5

1,0

2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 x y x y x y            

2 a b b a  

2 2 4 x y x y y x y x           

2

DI DE DK DP DA DQ  

ah BC. 2 1

x BC.. 2 1

ABC

OBC

a S S h

x 

ABC

AOB

c

ABC

COA

b

S S h

z

S S h

y





ABC

ABC

ABC

AOB COA BOC

S S S

S S S M    

A

B C

ha x

DeThi.edu.vn