Xem trước nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
Ngày thi: 24/02/2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đẳng thức
.
c) Tìm các số a, b, c biết ; ; .
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình .
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng . b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a
và c thì .
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.
a) Tính CM.CE + BD2 theo R.
b) Chứng minh rằng tích là một hằng số.
c) Tìm vị trí của điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Bài 5: (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết .
b) Cho tam giác nhọn ABC có cm. Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 2017 điểm ấy luôn tìm được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm.
HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2 2 x 2y 3xy 2x 4y 3 0
2
2 2b a 1 b
2
2 2c b 1 c
2
2 2a c 1 a
3 x 2 x 1 3
2 2
2 2
1 1 1 x y
x 1 y 1 xy 2
2 2 2 x y z 3
1 1 2
a b b c c a
OM ON AM DN
OM ON AM DN
µ µ 0 3. A 2. B 180 · o BAC 60 , BC 2 3
ĐỀ CHÍNH THỨC
DeThi.edu.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
Ngày thi: 24/02/2016 Môn thi: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN - LỚP 9 Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đẳng thức
.
c) Tìm các số a, b, c biết ; ; .
Tóm tắt cách giải Điểm a) Gọi a, b, c là ba số nguyên tố khác nhau phải tìm. Ta có a.b.c = 5(a + b + c) a 5 hoặc b 5 hoặc c 5 Vì a, b, c là ba số nguyên tố nên a = 5, hoặc b =5, hoặc c = 5. Giả sử a = 5 và a.b.c = 5(a + b + c) ta có: b.c = 5 + b + c b.c – b – c = 5 b( c – 1) – (c – 1) = 6 (b – 1)(c – 1) = 6 Vì b, c là các số nguyên tố nên b – 1 1; c – 1 1. và là các số tự nhiên có vai trò như nhau. Do đó :
* (nhận)
*
Vậy ba số nguyên tố khác nhau phải tìm là 2; 5; 7.
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm b) Ta có
Do nguyên dương nên x – 2y; x – y + 2 là số nguyên Mà nên ta có bốn trường hợp:
* ; *
* ; *
Vậy các giá trị cần tìm là
0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
c) Vì a = 2
2
1
2
b b ; b = 2
2
1
2
c c ; c = 2
2
1
2
a a (gt)
Nên a; b; c là các số không âm. Ta thấy với a = b = c = 0 (thỏa mãn) Nếu a, b, c dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta được:
1+ b2 2b a = 2
2
1
2
b b b b 2 2 2
= b (so sánh hai phân số có cùng tử)
1 + c2 2c b = 2
2
1
2
c c c c 2 2 2
= c (so sánh hai phân số có cùng tử)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2 2 x 2y 3xy 2x 4y 3 0
2
2 2b a 1 b
2
2 2c b 1 c
2
2 2a c 1 a
M M M
b 1 1 b 2
c 1 6 c 7
b 1 2 b 3 c 1 3 c 4 P
2 2 x 2y 3xy 2x 4y 3 0 x 2y x y 2 3 x,y
3 1 .3 3 .1
x 2y 1 x 3 x y 2 3 y 2
x 2y 3 x 9 loai x y 2 1 y 6 &
x 2y 1 x 11 loai x y 2 3 y 6 &
x 2y 3 x 1 x y 2 1 y 2 (x;y) (1;2),(3;2)
ĐỀ CHÍNH THỨC
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
