10 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 cấp huyện - Nguyễn Văn Trọng (Có đáp án)

Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng

1

10 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN (LUYÊN TẬP CHO HS) Bài 1 : ( 1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức

a)A = b) B =

Bài 2 : ( 2,0 điểm ) a) CMR biểu thức M = luôn nhận giá trị nguyên với mọi x Z

b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số biết rằng nó là một số chính phương ; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố .

Bài 3:(1,5điểm) Với mọi a , b R . Chứng minh:a) b) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

Bài 4 : ( 2,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 ) Bài 5(1,5điểm) Cho hình bình hành ABCD , trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M , K sao cho AM = CK . Lấy điểm P nằm trên cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB , PC cắt MK tại E , F . Chứng minh

Bài 6 : ( 1,5 điểm ) Cho hình thoi ABCD có . Tia Ax tạo với tia AB một góc và cắt

cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh

Bài 1: (6 điểm)

a) Cho

1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P 2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 b) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n 2 + n +1 không chia hết cho 9

Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình :

a) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 . Tính giá trị biểu thức: P = a 2015 + b 2015 Bài 3: (3 điểm)a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh :

Bài 4: (6 điểm)Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE)

1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2

Câu 1. a) Tính:

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu

thức: Câu 2. Giải các phương trình sau:

a) b) 2(x2 + 2) = 5

2 40 57 2 2 3 4    20 6 29 3 5   

15

x 2 6 x 30 x 3 5

  

abcd

 2

b a 2

b a 2 2 2         

x 2 x  

CKF S BME S PEF S  

0 120 D Aˆ B  0 15 x Aˆ B 

2 2 2 AN

3 AM

3 AB

4  

       1 1 1 1

x y xy P

x y y x y x x y         

 

2 2 17 3 x x   

2 2 2 3 4 19 x y x   

 

3

2 2 2 28 a b c ab bc ca a b c abc        

5 2 2 9 4 2   

4 a b c abc     (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) A a b c b c a c a b abc          

1 4 9 0 x x x x       3 1 x 

DeThi.edu.vn

Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng

2

Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời

là số nguyên tố. Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.

a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương.

Chứng minh :

b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.

Chứng minh :

Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?

Bài 1 ( 2 điểm ): Cho đa thức: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 1/ Phân tích f(x) thành nhân tử. 2/ CMR với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là số chính phương.

Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho phương trình ẩn x:

; víi x 1; x 2.

Tìm a và b để phương trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2.

Bài 3 ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết rằng x; y; z là các số thực thoả

mãn …