Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Hồ Tông Thốc (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH TRƯỜNG THCS HỒ TÔNG THỐC ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2018-2019

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1(5.0 điểm): a) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b) Tìm 3 số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng. c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Câu 2(5.0 điểm): a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: c) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Câu 3(4.0 điểm):

a) Cho abc = 1. Chứng minh rằng:

b) Cho a, b, c > 0 : Chứng minh + +

Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD. Chứng minh rằng: a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB

Câu 5(2 điểm) ): Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm M trong của tam giác sao cho:

MA.BC + MB. AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất.

2 x(y + 1) + 2y(x - 2) = 0

2 2 3 4 10 2 14 7 x x x    

2 3x - 5 + 7 - 3x = 5x -20x 22 

2 2 1 1                 E x y y x

a b c + + = 1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

2 a b c 

2 b c a 

2c a b   2 a b c  

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN TOÁN 9 Câu Ý Đáp án Điểm

A

Ta có:

Vậy: n = 452 – 24 = 2001

0.5 0.5

0.5

0.5

B

Tìm 3 số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng Gọi a, b, c là 3 số nguyên tố cần tìm Ta có: abc = 5(a+b+c) mà 5 nguyên tố, nên trong 3 số a, b, c có một số bằng 5. Không mất tính tổng quát, giả sử a= 5, ta có: 5bc = 5(5+b+c)

b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:

i)

ii) trường hợp này loại vì 4 là hợp số.

Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là: 2; 5; 7

0.5

0.5

0.5

0.5 1

C

Ta có: + Nếu thì (không thoả mãn). + Nếu thì:

(1)

Vì y và y + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( HS có thể chứng minh hoặc không chứng minh) nên từ (1) để nghiệm thì Suy ra: hoặc

+) Với

+) Với

0.5

0.5

0.5



 

 

 

2

2

65

24

h n

k n

2 2 k 24 h 65        89 .1 89      h k h k

  

     

 

   44 45 1

89

h k h k

h k

5 abc  M

5 bc b c     1 6 bc b c    ( 1) ( 1) 6 ( 1)( 1) 6 b c c c b         

1 1 2 1 6 7 b b c c            1 2 3 1 3 4 b b c c           

2 x(y + 1) + 2y(x - 2) = 0  2 xy + x + 2yx - 4y = 0  2 2 x(y + 1 + 2y) = 4y x(y+1) 4   y y 1  0 4  y 1 

 2 4y x = (y 1) 

x Z  2 4 (y + 1) M

2 (y + 1) 1  2 (y + 1) 4 

2 (y + 1) 1  0

2 y y

    

2 (y + 1) 4  1

3 y y

    

DeThi.edu.vn

Vậy ta có 4 cặp nghiệm: ( 0;0), (-8;-2), (1;1), (-3;-3)

0.5

A

(**)

Điều kiện:

Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopski ta có:

Mặt khác ta có:

Do đó: (**) (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2

0.5

0.5

0.5

0.5 2

B

Ta có

Áp dụng BĐT: với a > 0; b > 0.

Ta có

Áp dụng BĐT: với a > 0; b > 0.

Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y =

0.5

0.5

0.5

0.5

3 A

Với abc = 1 . Thay vào ta có:

0.5

0.5

0.5

0.5

0 0 2 8 1 1 3 3

        

y x y x y x y x

2 3x - 5 + 7 - 3x = 5x -20x 22  5 7 3 3 x  

 

2 2 2 3x - 5 + 7 - 3x (1 1 )(3x - 5 + 7 - 3x) = 4  

 3x - 5 + 7 - 3x 2 

 

2 2 5x - 20x+ 22 5 x - 2 2 2   

2

2 3x - 5 + 7 - 3x 2 2 2 5x -20x 22 2

              

x x x

2 2

2 2 1 1 ( ) 2 x y E x y x y y x                   1 1 4 a b a b   

2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 x y x y x y            

2 a b b a  

2 2 4 x y x y y x y x           

2

 1 a bc 

a b c + + ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 1

b c = + + 1 1 1 bc + b + 1 b + + 1 c + c + 1

1 b bc = 1 bc + b + 1 1 + bc + b 1 1 1

         

bc

bc bc bc

b bc b bc b bc

DeThi.edu.vn