Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

-------------------------- ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

——————————

Câu 1. (2.5 điểm)

Giải hệ phương trình:

Câu 2. (2.0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương có tính chất với mỗi số nguyên lẻ mà thì n chia hết cho a.

Câu 3. (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ( ). là ba đường cao

. Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt lại đường tròn

tại điểm .

1. Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng

Câu 4. (1.5 điểm)

Chứng minh rằng:

với mọi

Câu 5. (1.0 điểm)

Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.

—Hết—

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:…………………

   2 2

2 2 8 2

16 8 16 5 4

y x x

x y x xy y

    

     

n a 2 a n 

ABC O , , AD BE CF

  , , D BC E CA F AB    EF BC , G AG ( ) O

M

, , , A M E F

N BC H ABC GH AN 

 

2 3

3 1 1 1 1

( )( )( ) 2

a b c abc

a b b c c a a b b c c a abc

            , , 0 a b c 

10 10 

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn chấm - trang 1/2

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

Môn: Toán 9

Câu 1. (2.5 điểm).

Nội dung trình bày Điểm Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng

Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn là tham số. Có

0.5

Từ đó, tìm được 0.25 - Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được 0.5 Với thì Với thì Với thì

0.25

- Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được 0.5 Với thì Với thì Với thì

0.25

Vậy, các nghiệm của hệ là 0.25

Câu 2. (2.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

Gọi là số lẻ lớn nhất mà Khi ấy 0.25

Nếu thì là các ước lẻ của Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi một, nên . Suy ra

. Vô lý (do ).

0.5

Do đó hoặc hoặc 0.25 - Nếu thì 0.25

- Nếu thì (do ) 0.25

- Nếu thì (do ) 0.25 Vậy tất cả các số nguyên dương cần tìm là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25

Câu 3. (3.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm 1. Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. 1.5 Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD. Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi: - Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác nội tiếp, ta được ( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)

0.5

- Áp dụng cho tứ giác nội tiếp, ta được 0.5 - Suy ra 0.25 - Do đó, tứ giác nội tiếp. 0.25

    2 2 4 8 16 16 5 0 y x y x x      

,y x     2 2 2 ' 2 4 16 16 5 9 x x x x      

4 , 5 4 y x y x     4 y x   0, 2, 5 x x x    0 x  4 4 y x    2 x  4 6 y x    5 x  4 9 y x    5 4 y x   0, 2, 19 x x x    0 x  5 4 4 y x    2 x  5 4 6 y x    19 x  5 4 99 y x            ; 0;4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99 x y     

a 2 . a n   

2 2 n a  

7 a  4, 2, a a a   .n    2 4 | a a a n  

         2 3 2 2 2 4 2 7 4 4 0 7 4 1 0 a a a n a a a a a a a                7 a 

1 a  3 a  5 a  1 a    2 2 1 3 1,2,3,4,5,6,7,8 n n    

3 a    2 2 3 5 9,12,15,18,21,24 n n     1,3|n

5 a    2 2 5 7 30,45 n n     1,3,5|n

n

, , , A M E F

. . PA PB PC PD 

AMBC GM GA GB GC   

BFEC GB GC GF GE    GF GE GM GA    AMFE

DeThi.edu.vn