Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh - Năm học 2020-2021 - Môn Toán Chuyên

Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2020-2021 môn Toán chuyên

Câu 1: Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ có nghiệm (x, y).

Chứng minh:

Câu 2:

a) Giải hệ:

b) Giải phương trình:

Câu 3:

a) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho các số 2n+2021 và 3n+2020 là các số chính phương?

b) Tìm tất các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho là số nguyên

Câu 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B sao O và O’ nằm về hai phía đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi qua B cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D (d không trùng với đường thẳng AB)

a) Xác định vị trí đường thẳng d sao cho CD đạt giá trị lớn nhất ?

b) Gọi M là điểm di chuyển trên từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O), N là điểm di chuyển trên từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên

đường tròn (O’) sao cho . Chứng minh trung trực MN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hết./.

ax by c bx cy a cx ay b

          

2 2 2 a b c 3 bc ac ab   

4 2

2 2 x 2x y 1 (1)

2x y 2y 2 (2)

       

2 2(x 2) x 2 x 3x 3     

2 x 2 xy 2  

· · AOM AO'N 

2 2 2 2 x z y z 1 3z  

     

2

2 2 2 1 8 4z P

x 1 y 3 1 2z      

DeThi.edu.vn

Lời giải đề thi và THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2020-2021

(Lê Bá Hoàng- Chuyên viên Phòng Giáo dục và Đào tạo thị xã Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh

Sưu tầm và giới thiệu)

Câu 1: Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ

Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Từ

hoặc

Nếu

Nếu , từ hệ

Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) vế theo vế ta có:

* Nếu từ (*) ta suy ra

+ Xét do đó

+ Xét x = 0 suy ra y =1 nên thay vào hệ ta suy ra

ax by c bx cy a cx ay b

          

2 2 2 a b c 3 bc ac ab   

ax by c bx cy a (a b c)(x y) a b c cx ay b

                 

a b c 0     x y 1  

3 3 a b c 0 a b c (a b) ( c)        

3 3 3

3 3 3 3 3 3 a b 3ab(a b) c

a b 3abc c a b c 3abc

    

       

2 2 2 a b c 3 bc ac ab    

x y 1  

ax by c (1) bx cy a (2) cx ay b (3)

          

ax b(x y) cy a c ax b cy a c ax b c(1 x) a c x(a c) a b(*)                    

a b 0 a b     a c 0 x 0      

a c 0 a c     a b c 0   

2 2 2 a b c 3 bc ac ab    

a b c 0   

2 2 2 a b c 3 bc ac ab    

DeThi.edu.vn

* Nếu từ (*) ta suy ra do đó

Tương tự ta cũng có :

Do đó

(vô lí vì )

Vậy

Cách 2: Ta có:

, suy ra

Câu 2:

a) Giải hệ:

Hướng dẫn giải: Cộng theo vế của hệ ta suy ra:

* Nếu ( ) thay vào phương trình (2) ta được:

+

+

a b 0   a c 0 x 0      

a b x a c   

b c x b a   

a b b c a b b c a c x x a c b a a c b a b c                

3 a b b c a c x 1 x 1 a b c a c b a b c                        

a b 0  

2 2 2 a b c 3 bc ac ab   

      3 3 3 2 2 2 a b c a bx cy b cx ay c ax by        

      ab ax by bc bx ay ac cx ay 3abc       

2 2 2 a b c 3 bc ca ab   

4 2

2 2 x 2x y 1 (1)

2x y 2y 2 (2)

       

4 2 2 4 2 2 x 2x (y 1) y 2y 3 x 2x (y 1) (y 1) 4           

2 2 2 2

2 2 x (y 1) 2 x y 1 x (y 1) 4

x (y 1) 2 x y 3

                         

2 x y 1   y 1  

2 2

y 0 2(y 1) y 2y 2 2 y 3

          

2 x 1 y 0 x 1 x 1       

2

1 x 2 1 3 y x 1 3 3 x

3

        

  

DeThi.edu.vn