Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (chuyên toán) - Năm học 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2013 – 2014 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức M =     2 2 - 3 3 2 - 3 - 2

2 3

a a a b b a b a a

a ab

 

 a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2  , b = 11 8 10 3 

Bài 2. (2,0 điểm)

Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số. a) Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3. b) Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11.

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho số nguyên dương n và các số A =

2 444....4

n   (A gồm 2n chữ số 4); B =

888.....8

n   (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.

a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD. c) Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.

d) Chứng minh

2

2 MD HA = MC HC

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.

Chứng minh a b c + + 1 a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab

.

Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?

HẾT

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC: 2013 – 2014 Môn: Toán (Chuyên Toán)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn này gồm 4 trang) Câu Nội dung Điểm

a) M =     2 2 - 3 3 2 - 3 - 2

2 3

a a a b b a b a a

a ab

 



ĐK xác định của M: , 0 0 0 0 a b a a b            0,25

M = 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 a a ab ab b a a ab       0,25

= 2 3 ( 2 3 )( 2 3 ) 2 3 2 3 ( 2 3 ) a b a b a b a b a ab a a b a         0, 5

b) Ta có M = 3 2 b a  với a = 1 3 2  , b = 11 8 10 3  0,25

3 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2 17 1 3 2 (1 3 2)(3 2 1) b a

           0,25

Vậy  

2 3 6 4 2 2 2 2 2 b a       0,25

Câu 1 (2,0 đ)

Từ đó M = 2 (2 2) 2    0,25 a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)

 

2

2

2 2 ( 3 2 1) 0

3 2 1 0(*)

x x x x m

x x m

            

Nếu

2

2

3 2 1 0

x

x x m

      

trừ 0,25 điểm

0,25

Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0,25

Điều kiện là 0 13 8 0 3 13 4 6 2 1 0 2 3 2 8

m m m m                  0,5

b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3 trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 0,25

Khi đó x12 + x22 + x32 = 11

    2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 11 2 7(**) x x x x x x x x          0,25

Câu 2 (2,0 đ)

áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có

2 3

2 3

3

. 2 1

x x

x x m

      

(0,25 đ)

Vậy (**) 9 2(2 1) 7 1 m m       (thoả mãn ĐK) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

0,5

DeThi.edu.vn

Ta có  

2 444.....4 444......4000...0 444.....4 444....4. 10 1 888....8 n

n n n n n n A                 0,25

=

2 4.111....1.999....9 4.111....1.9.111....1 6.111....1

n n n n n B B B                  0,25

=

2 2 3 3 .888....8 4 4 n

B B B                   0,25 Câu 3 (1,0 đ) Khi đó

2 2 2 3 3 3 3 2 4 2 4 2. .2 4 2 4 4 4 4 A B B B B B B B                             

=

2 2 2

1

3.888....8 2 3.222....2 2 666....68 4 n n n

                              

Ta có điều phảI chứng minh.

0,25

d

Q

H

I

B

A

C

O

D

M

a) MA, MB là các iếp tuyến của (O)

· · 0 90 MAO MBO    0,25

I là trung điểm của CD · 0 90 OI CD MIO     0,25 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO 0,25  Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO. b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB

 MO là đường trung trực của AB  MO  AB  MH.MO …