Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2013 – 2014 - MÔN TOÁN- LỚP 9 Ðề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ðề thi gồm có: 01 trang Ngày thi: 09 tháng 01 năm 2014

ÐỀ BÀI

Bài 1 (4,0 điểm)

a, Cho ba số x, y, z khác không và

Tính giá trị biểu thức

b, Cho biểu thức

Rút gọn B rồi chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x, biểu thức B không thể nhận giá trị nguyên. Bài 2 (4,0 điểm)

a, Khi chia đa thức f(x) cho x - 2 thì dư 2013, khi chia cho x - 3 thì dư 2014, còn khi chia cho (x - 2)(x - 3) thì được thương là x2 - 1 và còn dư. Tìm đa thức f(x).

b, Cho n số x1, x2, x3, . . . , xn mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n cặp số x1x2, x2x3, x3x4 , . . . , xnx1 bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4. Bài 3 (4,0 điểm)

a, Giải hệ phương trình

b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức C = x + y biết

x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = 0 Bài 4 (4,0 điểm)

Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Gọi H là trung điểm của BC, E là hình chiếu của H trên AC và M là trung điểm của HE.

a, Chứng minh AM vuông góc với BE.

b, Khi AC = 5CE và N là điểm đối xứng với M qua H. Tính số đo · · CHE CNE  . Bài 5 (4,0 điểm)

Cho góc ·xAy =450 quay xung quanh một điểm A cố định. Từ điểm B cố định vẽ BM và BN lần lượt vuông góc với Ax và Ay (M Ax, N  Ay). Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BM với Ay và BN với Ax.

a, Chứng minh EF có độ dài không đổi và EF song song với một đường thẳng cố định.

b, Khi ·xAy quay xung quanh điểm A thì trung điểm I của EF nằm trên đường nào.

(HẾT)

Phòng thi: ...............................Số báo danh: ................ Họ tên thí sinh: ....................................................... Họ tên, chữ ký giám thị 1: ...................................................................................................................................... Họ tên, chữ ký giám thị 2: ......................................................................................................................................

2

4 x 1 4 x 1 x x 2 2 B

1 8 1 6 x x

     

 

2 2 2 x y y z z x A

z x y   

2 x(x 2)(2x y) 15

x 4x y 2

       

1 1 1 0 x y z   

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2013 – 2014

HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN- LỚP 9

Bài 1 (4 điểm)

a, + Theo bài ra x, y, z là ba số khác 0 và

1 1 1 0 x y z    =>

1 1 1 x y z  

=>

3

3 1 1 1 ( ) x y z   => 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ( ) x y x y xyz x y z      (1,0 điểm)

+ Ta có 2 2 2 3 3 3 xy yz zx 1 1 1 3 A xyz( ) xyz 3 xyz z x y z x y         (1,0 điểm)

b, + Nhận thấy:

2 4x 1 1 4x 1 1 1 4x 1 1 x (x ) 2 . ( ) 2 4 4 2 4 4 2          

Tương tự

2 4x 1 4x 1 1 x ( ) 2 4 2     

Ta có

2 2 2 2 1 8 1 8 x 1 6 x 4 x 1 1 6 ( ) x x x x

      

Điều kiện để B có nghĩa là :

1 x 4  (0,5 điểm)

+ Rút gọn :

4 x 1 1 4 x 1 1 4 2 4 2 B 4 x 1 x

    

 

Với

1 x 2  thì

x B

4 x 1 



Với

1 1 x 4 2   thì

x B 4x 1   (1,0 điểm)

+ Giả sử với mọi giá trị nguyên của x biểu thức B cũng nhận giá trị nguyên. Từ điều kiện

trên ta chỉ xét những giá trị nguyên của

1 x 2  . Khi đó

x B

4 x 1 

 nguyên, suy ra

4x - 1 phải là số chính phương lẻ. Do đó có dạng 4x - 1 = (2k + 1)2 với k Z, suy ra 4x - 1 = 4k2 + 4k + 1 hay 4x - 4k2 - 4k = 2 => 4(x - k2 - k) = 2 đây là điều vô lí. Vậy với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức B không thể nhận giá trị nguyên.

(ĐPCM) (0,5 điểm)

ThuVienDeThi.com