Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD & ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1

SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: 3 ( ) 3( )( 1) M x y x y xy      , biết

3 3 3 3 3 2 2 3 2 2, 17 12 2 17 12 2 x y        

b) Giải phương trình:

2 2 2 5 1 1 3 x x x x x x       Bài 2: a) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 3 4 (1)

12 6 +9 (2)

x y x

x x y x

         b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên

( 1)( 1)( 1) ab bc ca P abc    

Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

3 1 1 1 2 a b c a b c       Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy

M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.

a) Chứng minh AH vuông góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y z F x y x y y z y z z x z x          ------------------Hết--------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:..............................................................................................Số báo danh.......................

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013 HÀ TĨNH

Bài 1:

a) Ta có

     

3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 . 3 2 2 3 2 2 x             

3 3 4 2 3 3 4 2 x x x x      (1). Tương tự: 3 3 24 2 y y   (2)

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

3 3 3 3( ) ( ) 3( )( 1) 20 2 x y x y x y x y xy         

Vậy M = 20 2 

b) Ta có

2 2 2 2 1 3 1 3 1 0 ; 1 0 2 4 2 4 x x x x x x x x                        

Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với

2 1 5 1 1 3 t t     (với 1 t x x   )

 2 5 3 14 0( 1; 1) ( 2)(5 7) 0 t t t t t t         

2

7 5

t

t

    

* Nếu t = 2 2 1 2 ( 1) 0 1 x x x x        

* Nếu 7 5 t 

2 1 7 7 51 0 5 10 100 x x x

             vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1.

Bài 2:

a) Từ phương trình (1) ta suy ra: 2 2 9 12 3 3 x x y    thế vào phương trình (2) thu gọn

ta được:

3 3 2 2 2 2

2 2 0 3( ) ( )( 3 3 ) 0

3 3 0

x y x y x y x y x xy y x y

x xy y x y

                   

* Nếu 2 2 0 x y y x y x      thế vào phương trình (1) ta được

2 2 2 3 4 2( 1) 1 0 x x x      phương trình này vô nghiệm.

ThuVienDeThi.com

3

* Nếu 2 2 3 3 0 x xy y x y      , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được:

3 3 3 3 4 3 3 0 ( 3)( 1) 0 1 x xy x y x xy x y x y y

                  

+ Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2).

+ Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2).

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).

b) Ta có ( 1)( 1)( 1) 1 1 1 1 ( ) ab bc ca P abc a b c abc a b c abc             , vì a, b, c là các số

tự nhiên do đó để P là số nguyên khi và chỉ khi 1 1 1 1 M a b c abc     là số nguyên.

Do vai trò như nhau nên ta giả sử a<b<c suy ra 1; 2; 3 a b c   . Do đó

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 3 M M a b c abc a b c                 (Vì M là số nguyên)

1 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 6 1 0 2 3 4 a b c a b c a a b c a b c abc                    

Nếu ( 1)( 1) 4 a b    , vì 3 3 ( 1)( 1)( 1) 4 3 4( 1) a b c c a b c c a b c …