Xem trước nội dung
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
a. Cho hai số tự nhiên ,a b thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 a a b b . Chứng minh rằng a b và 1 a b đều là các số chính phương. b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của 1 nhợp số. Câu 2. (5 điểm): a. Giải phương trình:
2 2 6 1 9 1 6 9 x x x x .
b. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
2
2 4
x y xy
x y x y
Câu 3. (3 điểm): Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn: 1 abc .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P 2 3 2 3 2 3 a b b c c a .
Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
b. AB AC BC + = MF ME MD .
Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng
3 cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.
..............Hết..............
Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........
Đề chính thức
ThuVienDeThi.com
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A
( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Ta có : a2 +a = 2b2+b => a2 +a – b2 – b= b2
2 ( )( 1) a b a b b (1)
0.5
Mặt khác gọi d là ƯCLN( ; 1) a b a b
2 2
1 a b d
a b d
b d
0.5
1 1 b d d d a d
=> a b và 1 a b là hai số nguyên tố cùng nhau (2)
0.5
a 2.0đ
Từ (1) và (2) => a b và 1 a b đều là các số chính phương 0.5
Giả sử 1 2 2015 ... n a a a trong đó 1 2 ; ;...; n a a a là các hợp số
Theo bài ra ta có:
+Mỗi số hạng 1 2 ; ;...; n a a a không thể viết thành tổng hai hợp số (1)
+Tổng hai hợp số bất kỳ không thể viết thành tổng 3 hợp số (2)
0.5
Do 2015 là số lẻ nên tồn tại ít nhất một hợp số lẻ, hợp số lẻ đó phải bằng 9 vì 1;3;5;7;11;13 không phải là hợp số Nếu có hợp số lẻ ai15 thì 9 ( 9) i i a a với ( 9) 6 ia là số chẵn
nên ai bằng tổng hai hợp số - trái với (1) Mặt khác không có quá 1 hợp số bằng 9 vì nếu có hai hợp số bằng 9 thì 9+9 = 6+6+6 trái với (2)
0.5
Câu 1
4.0đ
b 2.0đ
Do đó 2 3 2015 9 ... n a a a Với 2 3 ; ;...; n a a a là các hợp số chẵn => 2 3 ... 2006 n a a a (3) => các hợp số phải nhận các giá trị 4 hoặc 6 Vì nếu ia là hợp số chẵn và 8 ia thì ia = 4+( ia - 4) là tổng hai hợp số , trái với (1) Số hợp số bằng 6 chỉ có thể là 1 vì nếu có hai hợp số bằng 6 thì
0.5
ThuVienDeThi.com
Câu Nội dung Điểm 6+6=4+4+4 trái với (2) Giả sử 2 6 a
3 4 .... 4 n a a a => (n-2)4= 2000 => n = 502 Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 502
0.5
ĐKXĐ 1 3 x 0.25
Đặt 2 6 1 ; 9 1 a x b x ĐK a; b 0 0.25
2 2 6 1 9 1 6 9 x x x x ta có 2 2 a b a b
( )( 1) 0 a b a b 0
1 0
a b
a b
0.5
Với 0 0 a b a b - Loại 0.5
Với 1 0 a b 2 2 6 1 9 1 1 0 6 1 9 1 1 x x x x
2 2 (3 1) 2 9 1 0 x x
0.5
a 2.5đ
2 3 1 0 1 3 9 1 0
x x x
TM ĐK 0.5
Câu 2
5.0đ
2 2
3 3
2
2 4
x y xy
x y x y
2 2
2 2
2 2
( )( ) 2 4
x y xy xy
x y x y xy x y
( )(2 2 ) 2 4 x y xy x y
0.5
x2y+ xy2+y = 0 y(x2+xy+1)=0 2
0
1 0
y
x xy
0.5
Với 0 2 y x 0.5
Với 2 2 1 0 1 x xy x xy
2 2 3 3 3 1 0 y y x x có < 0 => PTVN
0.5
2b 2.5đ
Vậy hệ pt có nghiệm là ( ; ) ( 2;0);( 2;0) x y 0.5
Ta có 2 3 ( ) ( 1) 2 2 2 2 a b a b b ab b > 0 0.5
1 1 2 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
