Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 -2014 Môn: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức:

b. Tìm x; y thỏa mãn:

Câu 2: a. Giải phương trình nghiệm nguyên:

b. Cho x ; y ; z là các số nguyên và

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.

Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:

.

Tính giá trị của biểu thức:

Câu 4: a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M.

Tính giá trị biểu thức:

b. Cho góc . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N.

Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.

Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: a. Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.

Chứng minh rằng:

-------------------- Hết ----------------------

Họ và tên thí sinh ............................................................... SBD .............................

6 2 5 14 6 5 A    

2 2 4 4 0 x y xy x     

4 2 2 5 4 85 0 x y x y    

      5 5 5 2012 2 2013 3 2014

2 3 2013.

P x y z

S x y z

            

2 2 2

1 x y z 2 1 1 1 1 4 x y z xyz 1 1 1 0 x y z



            

    

    2009 2009 2011 2011 2013 2013 P y z z x x y    

2 2

2 2 IO OM IH HA 

 ·xOy 1 1 OM ON 

1 1 1 1 x 1 y 2 z 3      

1 P x y z x y z      

2 2 2

1 2013 2013 2013 x y z x yz y zx z xy x y z           

ThuVienDeThi.com

1

-------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1:(4 điểm) . a) 1,5 điểm. b) 2,5 điểm BIỂU ĐIỂM

a) 1,5

b) ĐKXĐ: 0,5

Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn) 0,75

Xét . Biến đổi PT về dạng:

Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).

1,0

KL: hoặc 0,25

Câu 2: (4,5 điểm) a) 2,25 điểm. b) 2,25 điểm

a) Phương trình đã cho tương đương với 0,5

Lập luận Mà Suy ra { } 1,0

thì ( loại)

thì ( loại)

thì ( loại)

thì Khi đó

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16)

0,75

b) Đặt . Ta có:

( a ; b ; c là các số nguyên )

Xét

0,5

   

2 2 6 2 5 14 6 5 5 1 3 5 5 1 3 5 2 A           

0; 0; 0 x y x y      

0; 0 x y      

2 2 2 0 x y x    

    ; 0; 4 x y       ; 4;4 x y 

 

2 4 2 85 2 x y x   

4 4 85 4 x   x Z  4x  4 4 4 4 0 ;1 ;2 ;3

4 4 0 x  2 85 y 

4 41 x   

2 2 84 y  

4 4 2 x   

2 8 71 y  

4 43 x   

2 18 4 y    18 2 18 2 y y

     

 20 16 y y

    

3

3 x x

      ;x y

2012; 2 2013; 3 2014 a x b y c z      

5 5 5 P a b c S a b c      

    5 5 5 P S a a b b c c       

ThuVienDeThi.com

2

Ta có : với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 Thật vậy: (1) Với mọi số nguyên m thì là 5 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia hết cho 2.3.5. Hay chia hết cho 30 (2) Và là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố cùng nhau nên tích của chúng chia hết cho 2.3. Hay chia hết cho 30 (3) Từ (1); (2); (3) Suy ra với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 Do đó chia hết cho 30 với a; b; c là các số nguyên

1,75

Câu 3: (2,5 điểm) Từ giả thiết suy ra:

Mà suy ra (1)

Mặt khác suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra (3)

1,0

Biến đổi (3) 1,0

nên P = 0 0,5

Câu 4 :(5,5 điểm) a) 3 điểm. b) 2,5 điểm

a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)

OK // BH (cùng vuông góc với AC)  = (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)  = (góc có cạnh tương ứng song song)  ABH đồng dạng với MKO (1,0)

 ( 0,5)

5 m m 

5 4 2 2 ( 1) ( 1)( 1) ... ( 1)( 1)( 2)( 2) …