Đáp án đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD & ĐT Đức Thọ

1

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ

đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9

Năm học: 2008-2009

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:

(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2: 1/ Cho

So sánh S với

2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho x = . Tính giá trị của P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009

Bài 4: Giải phương trình: = 2009

Bài 5: Cho 00 <  < 900. Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

≥

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x  R

Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đường tròn nội

tiếp; ra là bán kinh đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p – a) =

S

Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định

vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho dãy số được xác định theo công thức:

. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các

tổng tương ứng a1 + a2 + ... ap – 1 đều chia hết cho p

----------------- Hết -------------

      

1 1 1 1 S ... .. 1.2008 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1

2008 2. 2009

        2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c 1

  3 3 1 2 4

       2 x 2009 x 2009 x x

  2008 2009 sin cos 1

                 1 1 1 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b   1 ab bc ca

A tg 2

3

 n a



       

1

3 2 n n 1

a 2

a 3a 2n 9n 9n 3; n = 2,3,...

ThuVienDeThi.com

2

Hướng dẫn chấm

Bài 1: (2 ®) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0  m(2x + y) + 3 – x = 0 1®

Với mọi m thì 1®

Bài 2: (3 ®) 1/ Ta chứng minh: 0,5®

áp dụng BĐT trên được: 1®

2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có: 0,5®

1®

Bài 3: (2 ®) Từ x =   3 – x = x

 x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0 1®

P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x – 9) + 2009 = 2009

1®

Bài 4: (2 ®) ĐK: x ≥ 0 0,5®

Ta có (1) 0,5®

(2) 0,5®

Cộng (1) và (2) suy ra: x = hay x = 0 và x = 1 0,5®

Bài 5: (2 ®). Ta dễ chứng minh được sin; cos < 1 với  < 900 1®

Nên sin2008 < sin2 và cos2009 < cos2 nên

1®

Bài 6: (2 ®) ≥ (Cauchy) 1®

Tương tự ; 0,5®

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 0,5®

Bài 7: (2 ®). Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + 1  P(x + 1) – (x + 1)2 = P(x) – x2 0,5®

Đặt Q(x) = P(x) – x2, khi đó Q(x) = Q(x + 1) 0,5®

            

2x y 0 x 3 3 x 0 y 6

  1 2 a b ab

     2 2 2 2008 S ..... 2. 2009 2009 2009 2009

              2008 b bc bc b 2008 1 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008 bc b 2008

  3 3 1 2 4     3 x 1 2 3 3 2

         2 2009 2009 x x 2009 2009 x x

         2 2009 2009 x x 2009 2009 x x

x

  2008 2009 sin cos 1

           1 bc 2a b 2a c 2ac bc 2ab bc    

2 bc

ab bc ca

         

2 1 ca 2b c 2b a ab bc ca          

2 1 ab 2c b 2c a ab bc ca

ThuVienDeThi.com