Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 huyện Phù Ninh năm học 2015-2016 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm):

1) Nếu p < 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số.

2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2( ) 5 3    x y xy

Câu 2 (4,0 điểm):

Cho biểu thức .

2 2

2 2 2 2

2 2

x x x x x x A

x x x x x x

         

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.

2) Rút gọn biểu thức A.

Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình:

1)

3 3 3 3 ( 1) ( 1) ( 2)       x x x x

2) với 0 x 1 x x x x      1 3 2 1 2  

Câu 4 (7,0 điểm):

1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E là điểm chính giữa của cung AB, hai dây EC, ED cắt AB tại P và Q. Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác CDIK nội tiếp .

b) Tứ giác CDQP nột tiếp .

c) IK // AB .

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA.

2) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N.

Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.

b) MN // DE .

c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi .

Câu 5 (2,0 điểm):

Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x16 + y16 + z16 .

----------------------- Hết ------------------------

Ghi chú: Thí sinh môn Toán không được mang máy tính vào phòng thi

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán

Câu 1 (3,0 điểm):

1) Vì p là SNT và p <5 nên p = 2 hoặc p = 3.

- Nếu p = 2 => 2p + 1 = 5 (là số nguyên tố) thì 4p + 1 = 9 là hợp số;

- Nếu p = 3 => 2p + 1 = 7 (là số nguyên tố) thì 4p + 1 = 13 là số nguyên tố; 1,5

2) Ta có: 2( ) 5 3 3 2 2 5        x y xy xy x y

2 4 (3 2) (3 2) 5 (3 2)(3 2) 19 3 3           y x x x y

Do x, y nguyên dương nên mà 19 = 1.19 = 19.1 3 2 1; 3 2 1     x y

nên ta có các khả năng sau: ; 3 2 1 (I) 3 2 19       

x

y

3 2 19 (II) 3 2 1       

x

y

Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là

  (x; y) (1; 7); (7; 1)  1,5

Câu 2 (4,0 điểm):

1) A xác định

2

2 2 2 0

2 0; 2 0

x x

x x x x x x

    

       2 2 0 2; 0 x x x x     

2 2 2 0; 2 0 0 x x x x x x x         Vậy A xác định và 2 x   0 x  2,0

2)

2 2 2 2

2 2 ( 2 ) ( 2 )

( 2 )( 2 )

x x x x x x A

x x x x x x

     

   

2

2 4 2 2 2 2 x x x A x x x       2,0

Câu 3 (4,0 điểm):

1)

3 3 3 3 (x 1) x (x 1) (x 2)        x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8

 x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0

 x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0

 (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 0 2,0

ThuVienDeThi.com

 (x2 + x + 1)(x - 4) = 0 2) Cách 1:

     

                

         

             

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 1 1 1 1 3 3

4 6 0 4 6 0

0 0 3 1 2

x x x x x x x x

x x x x x x

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là . 0, 1 x x  

2,0 Cách 2:

Đặt 1 t x x    1 2 t 

2 2 1 2 t x x    

Phương trình trở thành:

 

                

2 1 1 1 1 1 1 2 không thỏa mãn 3 0

t x t t x x t x 2,0 Câu 4 (7,0 điểm):

1)

a) D và C cùng nhìn IK dưới hai góc bằng nhau (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ). Suy ra tứ giác DIKC nội tiếp . 1,25

b) sđ (QDC + QPC)

= ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)

= ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800

Nên tứ giác CDQP nội tiếp .

1,0

c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK

Từ đó suy ra IK // AB . 1,25

d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ). Suy ra AE là tiếp tuyến

0,5 2)

a) E, D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một …