Đề thi chọn dự tuyển học sinh giỏi huyện năm học 2010 2011 môn Toán

PHÒNG GD & ĐT Tư Nghĩa ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Trường Nghĩa Thắng NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút )

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ Tên : Trương Quang An

Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

Bài 1 : ( 4 điểm ) a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n 10 

b , Giải phương trình : x2 + x + 12 = 36 1 x 

Bài 2 : ( 6 điểm )

a, Giải hệ phương trình :

1 1 9 2 1 5 2

x y x y

xy xy

         b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x        

Bài 3 : ( 5 điểm ) a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c .

Biết rằng đa thức có nghiệm và 2014a + 2015b + 2016c = - 1

2 b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

P = 4 9 16 26 a b c b c a c a b a b c         Bài 4 : ( 5 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm Có BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm .  a, Tính diện tích tam giác ABC . b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC . Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất . Tính độ dài lớn nhất đó .

_____________________HẾT ___________________________

ThuVienDeThi.com

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .

ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM

BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ = ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 ) 2 ( 1 )  ( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp )

0,5 đ

Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k thì n5 - n 5 ( 2 )  0,25 đ + Nếu n = 5k 1 thì n2 - 1 = (5k 1)2 – 1 = 25k2 10k 5     n5 - n 5 ( 3 )  

0,25 đ

+ Nếu n = 5k 2 thì n2 + 1 = (5k 2)2 + 1 = 25k2 20k + 5 5     n5 - n 5 ( 4 )  

0,25 đ

a

2 đ

Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) n5 - n 10 với   n N  0,25 đ Điều kiện : x -1  0,25 đ Đặt t = 0 x = t2 - 1 1 x    0,25 đ Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0 0,25 đ t4 – ( t – 6 )2 = 0  0,25 đ ( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0  0,25 đ

 2 0 2( ) 3 0 3 0( ) t t tm t t loai             

( Vì t2 – t + 6 = ( t- )2 + với t 1 2

23 0 4  

0,25 đ

Với t = 2 x = 3 ( thỏa mãn )  0,25 đ

1

4 đ

b 2 đ

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 0,25 đ Điều kiện xy 0  0,25 đ

1 1 9 2 1 5 2

x y x y

xy xy

        



2

9 ( ) 2 5 ( ) 1 0 2

x y x y xy

xy xy

         

0,5 đ

2

a

3đ

2

1 9 ( )(1 ) 2 5 ( ) 1 0 2

x y xy

xy xy

        



1 9 ( )(1 ) 2 ( 2)(2 1) 0

x y xy xy xy

         

0,75 đ

ThuVienDeThi.com



1 9 ( )(1 ) 2

2

1 2

x y xy

xy

xy

            



2 (1) 3

1 2 (2) 3 2

xy x y

xy

x y

                

0,75 đ

Giải ( 1) ta được ; Giải ( 2) ta được

1

2

2 1

x

y

x

y

              

1

1 2 1 2 1

x

y

x

y

                

0,5 đ

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 1 ;2 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 1 ; ) , ( ; 1 ) 1 2

1 2 0,25 đ

Ta có : ( 1) 2 2 2 2 2 3 1 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 x xy y x y x y x y x y          

( Vì ) 2 1 ( ) 0 4 x y   1,0 đ

Tương tự : ( 2 ) 2 2 3 ( ) 2 y yz z y z     0,5 đ

( 3 ) 2 2 3 ( ) 2 z zx x z x     0,5 đ

Cộng hai vế của ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được A 3( ) 3 3 x y z     0,5 đ

Dấu bằng xảy ra khi

3 0 1 0 0

x y z x y x y z y z z x

                

0,25 đ

b

3đ

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A = khi x = y = z = 1 3 3 0,25 đ

Bài 3 :

Từ 2014a + 2015b + 2016c = - + a + 2b + 4c = 0 1 2  1 2

0,5 đ

Chia cả hai vế cho 4 ta được : P ( ) = 0

3 2 1 1 1 0 2 2 2 a b c                      

 1 2

1,0 đ a

2đ Vậy x = là một nghiệm của đa thức 1 2

0,5 đ

Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c …