Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2015-2016 Trường thcs Nguyễn Trực

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Năm học 2015-2016 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I: (6đ) 1. Tính giá trị của biểu thức:

3 3

3 3 : 1 1 2 . 1 1

xy y x

y y x x y x y x y x y x A



  

  



  



    

  



 

Với ; 2

15 8 2

15 8     x 3 3 13 2 5 13 2 5     y

2. Tìm tất cả các số hữu tỉ x để là số nguyên 2

11 3



 

x

x B

3. Cho các số thực x, y thỏa mãn  1 1 1 2 2      y y x x

Tính giá trị biểu thức 2015 2015 y x C  

Câu II(4,5đ) Giải các phương trình sau:

a) 1 2 2      x x x x x

b) 3

8 4 2 2 3     x x x

c) ( )     1 4 1 2     y y x x x Z y x  , Câu III(1,5đ)

Tìm GTNN của biểu thức trong đó x, y là số thực lớn hơn 1.       1 1

2 2 3 3

 

    y x

y x y x D

Câu IV. (8đ) 1) Cho (O) và (O/) ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và chung trong EF ( ). Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF. ) ( , ); ( , / O D B O E A   Chứng minh

a) / BMO AOM    b) AE BF  c) O, N, O/ thẳng hàng 2. Cho nhọn. Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1 ABC 

===Hết===

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN TOÁN 9

Câu 1: (6đ) 1. (2,5) Đặt đk : x>0, y>0

Rút gọn    

) (

) ( : 1 1 2 .

y x xy

y x xy y xy x y x y x y x xy

y x A



      

  



  

 

=  

  





   

  

  

) (

) )( ( : 2

y x xy

y x y x xy

y x

xy

= 

y x

xy xy

y x



 .

2

=

xy

y x 

Biến đổi 4

15 2 16 4

15 2 16     x

2

1 15 2

1 15    

= 1

 

  

 



  

 

     

0 10 9

9 10

. 13 2 5 3 13 2 5 13 2 5

3

3

3 2 2 3

y y

y y

y y

  

  



   

1

0 10 1 2

y

y y y

A=  2 1.1

1 1  

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2, ĐK x 0 

B= là số nguyên 2

5 3 .... 2

11 3

    



x x

x

là số nguyên 2

5

 

x

Lập luận 2 5

2

5 0   

x

0,25 0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

hoặc hoặc x = 0,25 1 2

5   

x

2 2

5   x

9  x 1

3, Ta có   1 1 1 2 2      x x x x

y y x x       1 1 2 2

Tương tự x x y y      1 1 2 2

y x y x y x y x             1 1 1 1 2 2 2 2

0 ) ( 2    y x

0 0         C y x y x

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 2:(4,5đ) 1. (1,5đ)

ĐK



 

 

 

0

0

2

2

x x

x x

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có

    1 2

1 2

1 1. 1.

2 2 2 2 2 2                x x x x x x x x x x x x x

Dấu “ =” xảy ra o 

 

 

  

1

1

2

2

x x

x x   x

2, (1,5đ)

3

8 4 2 2 3     x x x

0 8 12 6 3 2 3      x x x

 0 8 12 6 4 2 3 3       x x x x

 

3 3 2 4    x x

2 4 3    x x

3 4 1

2

  x

3. (1,5đ)

   

1 4 4 1

1 4 1

2 2 3

2

      

   

y y x x x

y y x x x

   

2 2 1 2 1 1      y x x Đặt d = ƯCLN   1 ,1 2   x x  d= 1

và là các số chính phương ( 1  x 1 2  x 2 2 1 k x    ) ( Z k 

  

   1,0 ; 0,0 ,

0 1 1 1

 

  



    

        

y x

x x k x k

x k x k x k x k

Câu III. Biến đổi 1 1

2 2

    x

y y

x D

Do x >1, y >1 0 1 ,0 1      y x

0,25

0,75

0,5

0,25 0,5 0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,5 0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com