Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng 2 năm học 2015- 2016 môn Toán - Trường Thcs Nghĩa Thắng

TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG 2 Năm học: 2015- 2016 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không tính thời gian phát đề)

Bài 1: ( 3 điểm ) Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y nguyeân thì A = (x +2011 y)(x + 2012y)(x + 2013y)(x + 2014y) + 2015y4 laø soá chính phöông

Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình:

a) 1 2 3 4 5 2000 2001 2002 2003 2004 x x x x x         

b) 5 1 10. 5 9 45 4 25 3 x x x      

Bài 3: (2điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:

chia hết cho 24. 4 3 2 6 11 30 24 n n n n    

Bài 4: (2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =   

2

2 2

1

1 1

x

z y x 

    

2

2 2

1

1 1

y

x z y 

     

2

2 2

1

1 1

z

y x z 

  

Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: P = . ab bc ca c ab a bc b ca      Bài 6: (3 điểm)

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM.

a) Xác định dạng của tứ giác DEIF (1,5 điểm) b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy (1,5 điểm) Bài 7: (3 điểm) Cho coù ba goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O. Caùc ñöôøng cao AM, BN ABC  vaø CK cuûa caét nhau taïi H. Ñieåm D ñoái xöùng vôùi ñieåm B qua ñieåm O. ABC 

1/ Tính (1,0 ñieåm) DC AH

2/ Chứng minh: tổng có giá trị là một hằng số. (2,0 điểm) CK CH BN BH AM

AH  

------------------Hết-----------------

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu Đáp án Biểu điểm Bài 1 (3điểm ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (3điểm )

a) PT đã cho tương đương:

1 2 3 4 1 1 1 1 1 0 2000 2001 2002 2003 2004 x x x x x                                             2000 2000 2000 2000 2000 0 2000 2001 2002 2003 2004 x x x x x           

1 1 1 1 1 ( 2000) 0 2000 2001 2002 2003 2004 x             

Vì 1 1 1 1 1 0 2000 2001 2002 2003 2004     

Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000  Vậy S = {2000}

b) Vậy S ={9}

5 0

5 1 10. 5 9 45 4 25 3

x

x x x

            

5 9 9 x x x

      

0,5

0,5

0,5

0,75

Bài 3 (2 điểm )

4 3 2 6 11 30 24 n n n n     =       4 3 2 3 2 6 11 6 24 24 6 11 6 24 1 n n n n n n n n n n           

=

           3 2 2 2 5 5 6 6 24 1 1 5 6 24 1 n n n n n n n n n n n n                  =       1 2 3 24 1 n n n n n      Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên 4 3 2 6 11 30 24 n n n n     chia hết cho 24

0.5

0.5

0.5

0.5

Bài 4 (2 điểm )

Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y) 1

ThuVienDeThi.com

T=         y x z x

y z x z z y x y x

 

            z y y x

z x y x y z x z y  

    

=         y z x z

z y x y z x y x z

 

    

=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2

0.5

0.5

ThuVienDeThi.com