Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm học 2015-2016 Trường Thcs Cao Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Năm học: 2015-2016 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1: (6,0 điểm)

1.a) Rút gọn biểu thức A = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính giá trị biểu thức:

A =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z            2.Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR:

  1947 13 . 296 46  n n  Câu 2: (4 điểm)

Giải phương trình

3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x

2 2          b ) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:

a b c + + = 0 b - c c - a a - b

Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c + + = 0 (b - c) (c - a) (a - b)

Câu 3: (3 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

2x6 + y2 –2 x3y = 320

b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . 1 1 1 6 x y y z z x      

Chứng minh rằng: . 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 x y z x y z x y z          Câu 4: (6 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng

ThuVienDeThi.com

3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0

----------------Hết---------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Năm học: 2015-2016

Câu Đáp án Điểm Câu 1 ( 6 đ) 1.( 4đ)

a) (2đ)

1.a) Rút gọn biểu thức A = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

ĐKXĐ: x 0; x  4; x  9 

  

2 9 3 2 1 2 3 2 3

x x x A

x x x x

         

=   

2 9 9 2 3 2

2 3

x x x x

x x

    

 

  

2

2 3

x x

x x

  

 

=     

1 2

2 3

x x

x x

 

 

1 3 x x

 



0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

b) ( 2đ)

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính:

A =

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z            Từ: xy + yz + xz = 1

 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z)

= (x + z)(x + y)

Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z .(x +y) = ( x+ y).(y+z)

1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x .( y + z)+ z. (y + z) = ( y +z). ( x +z)

    

    

     2

2 2

2

2 2

2

2 2

1

1 . 1 . 1

1 1 . 1

1 1 . z

y x z y

x z y x

z y x A 

   

   

  

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ

ThuVienDeThi.com

       

                z x z y

z y y x y x z x z

z y y x

y x z x z x z y y y x z x

z x z y z y y x x

 

    

 

      

    

.

. .

     

2 2 2 . . . y x z z x y z y x       =       2 . . .              yz xz yz xy xz xy y x z z x y z y x

0,25đ

0,25đ

0,25đ

2. (2 đ)

Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n = 33 . (…) + 9.33.13n 33 ⋮  Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n = (46+13) . (…) + 5.59.13n = 59.(…) + 5.59.13n 59  ⋮ Mà (13; 39) = 1 Nên từ và  => 46n + 296.13n 33.59 = 1947 (đpcm)  ⋮

0.25đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ

0.25đ 0.25đ

0.25đ

Câu 2 ( 4đ)

a) ( 2đ)

a, 3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x

2 2          (1)

ĐK: 2 x

0 3 x 2 x

0 3 x

0 2 x 3 x

2

2

  





  

 

  

(1)  + = + x + 3 x - 2

Đặt:

 

 



  

  

  

0 c 3 x

0 b 2 x

0 a 1 x

(1)  a.b + c = b + …