Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015-2016 môn thi Toán - Trường Thcs Nghĩa Thắng

(Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:   2 2 1 2 . 1 1

x x x x x P

x x x x

         a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c. Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2. 2 , x Q P 

Bài 2: (4,5 điểm)

a. Không dùng máy tính hãy so sánh : và 2014 2015 2015 2014 

2015 2014

1 

b. Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 . 0 

c. Giải phương trình: 1 5 4. 3 4 x x     Bài 3: (4,0 điểm)

a. Với Tính giá trị của biểu thức: B = .  

3 5 2 17 5 38

. 5 14 6 5 x

  

   

2015 3 2 3 8 2 x x  

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x.   Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a. Chứng minh rằng:

Tam giác đồng dạng với tam giác ; AEF ABC 2 cos . AEF

ABC

S A S 

b. Chứng minh rằng :   2 2 2 1 cos cos cos . DEF ABC S A B C S    

c. Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1.

d. Chứng minh rằng: . 3 HA HB HC BC AC AB   

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2004 5 36    y x A

Hết

Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................

Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................

TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 1/11/2015 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ThuVienDeThi.com

Giám thị không giải thích gì thêm

TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016

MÔN : TOÁN

Hướng dẫn chấm này có 03 trang I. Yêu cầu chung: 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. II. Yêu cầu cụ thể: Bài Nội dung cần đạt Điểm a.(2,0đ) Đk : 0; 1. x x  

     

   

1 2 1 2 1 1

1 1

1 2 1 2 1

1

x x x x x x x P

x x x x

x x x x

x x

         

     

   Vậy , với 1 P x x    0; 1. x x  

0,25

0,5

0,5

0,5 0,25

b. (1,0đ)

2 1 3 3 1 2 4 4 P x x x             dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.

Vậy GTNN của P là khi . 3 4

1 4 x 

0,25

0,5 0,25

1

c. (1,0đ).Với thì Q = > 0. (1) 0; 1 x x   2

1 x x x  

Xét  

2 2 1 2 2 0 1 1

x x x x x x

        Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện . 1 x  suy ra Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.

0,25

0,25

0,25

0,25

2014 2015 2015 1 2014 1 2015 2014 2015 2014 1 1 2015 2014 2015 2014 2014 2015

    

     

Vậy > > 2014 2015 2015 2014  2014  2015

2015 2014

1 

0,5

0,75

0,25

2

b. Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 (1) 0  Vì (2x - y)2 ; (y – z + 1)2 ; ( z - 3)2 với mọi x, y, z nên từ 0  0  0  (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.

0,75 0,75

c. Đk: x > - 3. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

0,25

ThuVienDeThi.com

1 5 2 2 0 3 4 x x

                     

   

1 5 4 4 4 11 4 11 3 4 0 0 1 5 1 5 2 2 3 2 4 2 3 4 3 4

x x x x

x x x x x x

                                

Vì x > - 3 nên    

1 1 0 1 5 3 2 4 2 3 4 x x x x

                   

Do đó 4x + 11 = 0 x = thỏa mãn điều kiện.  11

4 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: . 11

4 S       

0,5

0,25

0,25

0,25

a. Ta có     

3 3

2

5 2 5 2 5 2 5 2 1. 3 5 3 5 5 (3 5) x

          Do đó B = - 1.

1,25

0,75

3

b. Dễ thấy . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y. x y  Từ (3y + 1) x    * 3 1 . . y p x p N   

Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. p < 3. Vậy p   1;2 

 Với p = 1: x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4 y 4 y      Mà y > 1 nên y   2;4  + Với y = 2 thì x = 7. + Với y = 4 thì x = 13.  Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y + 5    Vì 3x + 1 y nên 9y + 5 y suy ra 5 y , mà y > 1 nên y = 5,    suy ra x = 8. Tương tự với y > x ta cũng được …