Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 huyện Hải Lăng năm học 2015-2016 môn Toán - Vòng 1

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4 điểm):

a) Cho số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 7. Chứng minh rằng hiệu các lập

phương của 2 chữ số của số đó chia hết cho 7.

b) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho      2 4 6 8 2016 x x x x     

đa thức

2 10 21 x x  

Bài 2 (4 điểm): Cho biểu thức P = 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x x x x x x                  

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P = -1.

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( )P > x+1. 3 x 

Bài 3 (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của: 1 1 1 1 6 6 x y xy   

Bài 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm BC, qua M kẻ

đường thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại H và N. Biết

CH = a, BN = b. Tính diện tích ∆ABC.

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di

chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất.

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

------------- Hết -----------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG 1

ThuVienDeThi.com

b

/

/

a H

N

M

B

A

C

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 1

MÔN TOÁN 9 (2015-2016) Bài 1 (4 điểm) mỗi câu 2 điểm:

a) Gọi số có 2 chữ số là : ab (a,b N ;0< a 9;0  b  9) Ta có: ab 7 hay 10a + b 7 suy ra (10a + b)3 7    1000a3 + b3 +3.10a.b(10a + b) 7 (*)   1001a3 - a3 + b3 + 3.10a.b(10a + b) 7.   Ta có: 1001a3 7 (vì 1001 7) và 3.10a.b(10a + b) 7 (vì (10a + b) 7 )     Suy ra : -a3 + b3 7 đpcm  b) Ta có:

        2 2 ( ) 2 4 6 8 2016

10 16 10 24 2016

P x x x x x

x x x x

     

      Đặt , biểu thức P(x) đợc viết lại: 2 10 21 ( 3; 7) t x x t t        

2 ( ) 5 3 2016 2 2001 P x t t t t       

Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2001. 2 2 2001 t t   Bài 2 (4 điểm): a) ĐK: x 0; x 4 và x 9.    0,5 đ

HS rút gọn đúng P = 4

3 x x  1 đ

b) Với x 0; x 4 và x 9 thì P = -1 khi và chỉ khi 4x + - 3 = 0    x 0,5 đ

= x =  x 3 4  9 16 1 đ

c) Với mọi giá trị x > 9, bất phương trình đưa được về dạng 4mx > x+1 (4m - 1)x > 1. (*)  0,5 đ

Vì x > 9 nên 4m – 1 > 0. Nghiệm bất phương trình (*) là x > 1/(4m-1). Do đó để bất phương trình

thỏa mãn với mọi x > 9 thì và 4m - 1 > 0. 1 9 4 1 m  

Từ đó ta được 5 18 m 

0,5

Bài 3 (4 điểm):

Nhân 2 vế cho 6xy ta được: 6y + 6x +1 = xy. (x,y nguyên dương) Biến đổi về phương trình ước số: (x – 6)(y – 6) = 37 (x,y nguyên dương) Vai trò x,y bình đẳng nên giả sử : x ≥ y ≥ 1. Suy ra: x -6 ≥ y -6 ≥ -5. Suy ra: x - 6 = 37 và y - 6 =1. Giải ra : x = 43 ; y = 7. ĐS:(43;7);(7:43) Bài 4 (4 điểm): Ta có 2 tam gác vuông MHC và MBN đồng dạng (góc nhọn)

(do MB = MC) MH HC = MB BN

MH a = MC b

ThuVienDeThi.com

 a.MC MH= b ∆MHC vuông tại M: MH2 + MC2 = HC2

+MC2 = a2 

2 a.MC

b      

MC2 = MC = từ đó = 

2 2

2 2 a b a +b



2 2 ab

a +b

a.MC MH= b

2

2 2 a

a +b Hai tam gác vuông MHC và ABC đồng dạng (góc nhọn)

(do BC = 2MC) MH HC = AB BC

MH HC = AB 2MC

AB = = = (1)  MH.2MC HC

2

2 2 a

a a +b

2 2 2ab

a +b

2

2 2 2a b a +b ∆ABC vuông tại A: AC2= BC2 - AB2 = (2MC)2 - AB2

= - = AC = (2), từ (1) và (2) ta có diện tích

2 2

2 2 4a b a +b  

4 2

2 2 2 4a b

a +b  

2 4

2 2 2 4a b

a +b



2

2 2 2ab a +b

∆ABC = AB.AC = . . = 1 2

1 2

2

2 2 2a b a +b

2

2 2 2ab a +b  

3 3

2 2 2 2a b

a +b

Bài 5 (4 điểm): (Mỗi câu 2 điểm) a) (2đ): DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:  DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) + a2 (0,5đ)

= 2(x – )2 + (0,5đ) a 2

2a 2 

2a 2

Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,5đ)   a 2

BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,5đ)  a 2 

b) (2đ) : Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AB.AD – AD2) (0,5đ) 1 …